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一、概述

1、谐波定义

在理想情况下，电力系统电压与电流波形是严格的工频正弦波形，然而实际中由于非线性负荷的存在，其波形往往是由基波分量加上许多谐波分量构成。我国的基波频率定为50Hz（f1）。

2、谐波检测

电力系统中的谐波源种类多样，分布较广，谐波的治理工作就是它们加以区分、抑制和补偿，而这些工作都需要提前分析出电力系统中谐波的成分及含量，也就是谐波的检测。

二、谐波检测的方法

多基于频域理论和时域理论。

1、模拟带通或带阻滤波器法

该方法简单易行、造价低廉、输出阻抗低、品质因数容易控制。但存在着滤波中心频率受制于元件的参数，对环境要求较高，获得理想的幅频和相频特性的难度较大，得到的谐波信号中包含较多的基波分量，运行损耗大等缺点，并且其检测过程中电网频率的波动不能过于剧烈，随着检测谐波次数的增加，电路也变得愈发复杂。

2、傅里叶变换FFT

快速傅里叶是检测谐波的基础方法，易于硬件实现，但在非同步采样时会有频谱泄漏与栅栏效应等问题，使得检测出的谐波频率、幅值和相位不准确，并且对于非稳态谐波，FFT难以定位与检测。

1882年，法国工程师傅里叶指出，一个任意的函数f(t)可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和。傅里叶变换的实质是将信号加窗截断后从时域变换到频域进行分析，当周期信号满足狄里赫莱条件时，利用傅里叶变换能哆将其表示为三角函数的线性组合，通过对这些线性组合的处理以达到检测原始信号的目的。在数学上，这种关系可表示为$\hat{f}(\lambda)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt$，其中f(t)是给定的，可以被分解为正弦函数之和的波形，$\hat{f}(\lambda)$即被称为f(t)的傅里叶变换。

当f(t)是一个周期电压或电流信号时，

$$f(t)=f(t+kT)\quad,k=1,2,3\dots$$

式中，T为周期，该周期信号的频率为f=1/T，角频率$\omega=2\pi f=2\pi / T$。使用傅里叶级数，则上式可以被表示为基波与无数高次谐波之和的三角级数：

$$\begin{align}f(t)=&a_0+A_1\sin(\omega t+\varphi_1)+A_2\sin(2\omega+\varphi_2)+\dots+A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)+\dots \\ &=a_0+ \sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin(n\omega t+\varphi_n) \\ &=a_0+ \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos n\omega t+b_n \sin n\omega t) \end{align}$$

式中，$a_0$为直流分量，$A_n$和$\varphi_n$分别为n次谐波的幅值和初相角，$a_n$和$b_n$分别为n次谐波的余弦系数正弦系数，由欧拉公式：

$$\left\{ \begin{align} &e^{jn\omega t}&=\cos n\omega t+j\sin n\omega t \\  &e^{-jn\omega t}&=\cos n\omega t-j\sin n\omega t \end{align} \right.$$

可以进一步：

$$f(t)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (\dfrac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega  t}+\dfrac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t})$$

再进一步：

$$\begin{align} &f(t)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (\dfrac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega  t}+\dfrac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t}) \\ &=(\dfrac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega t}_{n=0})+\sum\limits_{n=1}^\infty (\dfrac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega  t}+\sum\limits_{n=-1}^{-\infty} (\dfrac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega  t}\\&=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty (\dfrac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega  t} = \sum\limits_{n=-\infty}^\infty F_n e^{jn\omega  t} \end{align}$$

其中，

$$F_n=\dfrac{1}{2}(a_n-jb_n)=\dfrac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}e^{j\vartheta_n}=\dfrac{1}{2}A_ne^{\vartheta_n-90}$$

也可以由复数$F_n$积分求得

$$F_n=\dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-jn\omega t}dt$$

而f(t)的频谱密度函数就是傅里叶系数，它是一个频率为$\omega$的连续函数，即

$$\hat{f}(j\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt $$

时域信号f(t)可以表示为

$$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

从数字计算的角度，由于计算机能够处理的离散信号长度有限，因此离散的时域及频域才符合实际要求，由离散的且长度有限的信号组成的傅里叶变换对变为

$$F(k)=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-jkn\frac{2\pi}{N}}$$

$$f(n)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}F(k)e^{jkn\frac{2\pi}{N}}$$

式中，f(n)为电子系统谐波信号，F(k)为第k次谐波的傅里叶变换系统.

3、Prony算法

其核心是指等间距采样数据的数学模型可以通过指数函数的线性组合来拟合，经过扩充，可以以此估算信号频率、幅值等特征信息，是一种重要的信号谱分析工具。

4、小波变换

是在FFT基础上发展出的一个数学分支，克服了FFT在频域具有局部化特性而在时域无局部化特性的缺点，适用于分析非稳态信号。