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线性插值的目的是在两个已知数据点之间估计未知值。假设我们有两个点 $(x, f(x))$ 和 $(y, f(y))$，我们想要在这两点之间的某个点 $(z, f(z))$ 上估计函数值，其中 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 之间的某个值。

线性插值的基本形式是：

$$
f(z) = f(x) + \frac{f(y) - f(x)}{y - x} (z - x)
$$

这个方程式是通过构造经过点 $(x, f(x))$ 和 $(y, f(y))$ 的直线（即线性函数）得到的，其中斜率是 $\frac{f(y) - f(x)}{y - x}$，它表示 $y$ 和 $x$ 之间函数值变化的率。

我们可以将 $z$ 写成 $x$ 和 $y$ 的加权平均形式：

$$
z = \lambda x + (1 - \lambda) y
$$

其中 $\lambda$ 是一个位于 $0$ 和 $1$ 之间的权重，

$$
\lambda = \frac{y - z}{y - x}
$$

因此，我们可以将 $z$ 的表达式代入前面的线性插值方程中：

$$
f(z) = f(x) + (f(y) - f(x)) (1 - \lambda)
$$