现代数学体系

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数学

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现代数学有数不清的分支, 但是它们都有一个共同的基础--集合论, 在集合论的基础上, 现代数学有两大家族: 分析(Analysis)和代数(Algebra). 至于其它的, 比如几何和概率论, 在古典数学时代, 它们是和代数并列的, 但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上, 因此从现代意义说, 它们和分析代数并不是平行的关系.

先说说分析(Analysis), 它是从微积分(Caculus)发展起来的, 整个分析的大厦还是建立在极限的基石上. 在极限思想的支持下, 实数理论被建立起来, 随着对实数认识的深入,  勒贝格建立了测试理论(Measure Theory), 并且进一步建立了以测度为基础的积分-勒贝格积分(Lebesgue Integral). 而测度理论是现代概率论的基础.

 

实数理论的建立也促成了点集拓扑(Point-set Topology)的建立, 在拓扑学的基础上建立了微分几何. 从教学上, 微分几何的教材有两种不同的类型, 一种是建立在古典微机分的基础上的"古典微分几何", 主要是关于二维和三维空间中的一些几何量的计算, 还有一种建立在现代拓扑学的基础上. 微分几何的重要作用就是建立在它之上的另外一个分支: 李群和李代数, 分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析, 心及在其基础上的调和分析.

上面说到的实数理论- 测度理论- 勒贝格积分, 构成了我们现在称为实分析(Real Analysis)的数学分支, 有些书也叫到实变函数论.

回过头来, 再说说另一个大家族代数, 如果说古典微积分是分析的入门, 那么现代代数的入门点则是两个部分: 线性代数(linearalgebra)和抽象代数(abstract algebra). 代数名称上研究似乎是数, 实则主要研究的是运算规则.

线性代数主要是在有限的空间进行, 泛函分析(Functional Analysis) 是研究的一般的线性空间, 包括有限维和无限维. 基本的泛函分析继续前走,有两个重要方向: 第一是巴拿赫代数(Banach Algebra), 另一个重要方向是调和分析(Harmonic Analysis).