三角函数公式
阅读数:86 评论数:0
跳转到新版页面分类
数学
正文
1、两角和公式
$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1\mp \tan\alpha\tan\beta}$
$\cot(\alpha \pm \beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta\mp 1}{cot\beta\pm\cot\alpha}$
证明：
∠AOB = α，∠AOP = β，|OP| = 1, 单位圆
∠AOB = α，∠AOP = β，|OP| = 1, 单位圆
cos(α-β) = cos∠POM = OM = OB+CP
在△AOB中 OB = OA·cos α
在△APC中 CP = AP·sin∠CAP， 且∠CAP = α ∴CP = AP·sinα
OM = OA·cos α + AP·sinα
在△AOP中 OA = cosβ ·OP = cosβ
在△AOP中 AP = sinβ·OP = sinβ
∴cos(α-β) = cosβ·cos α + sinβ·sinα
用-β代替β，可得：
cos (α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β)
= (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)
同除cosα·cosβ,
得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
2、倍角公式
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
$\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$
$\cot2\alpha=\dfrac{cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$
3、半角公式
$\sin{\dfrac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}$
$\cos{\dfrac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$
$\tan{\dfrac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
$=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$
$\cot{\dfrac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$
$=\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$
4、和差化积
$2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$
$2\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)$
$2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)$
$-2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)$
$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$
$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$
$\tan\alpha\pm \tan\beta = \dfrac{sin(\alpha\pm \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$
$\cot\alpha\pm \cot\beta = \pm{\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}}$