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1、估算法

所谓估算，就是在精度要求不太高的情况下，进行粗略估值的速算方法。

当选项相差较大，或者被比较数据相差较大，且运算过程较复杂或计算式较复杂时，可估算。

2、直除法

所谓直除法，就是指通过直接相除的方式得到商的首位或首两位，从而给合选项判定答案。

选项首位不同或首两位不同，采用直除法最为便捷。

3、缩放法

指在数字的计算或者比较当中，通过对中间结果进行适当的“放大”或“缩小”，从而迅速得到待比较数字大小关系的速算方法。

4、化同法

化同法是指比较分数大小时，将分子（或分母）化至完全相同或相近，再进行比较的速算方法。比较两个分数的大小时，若一个分数的分子、分母分别小于另一个分数的分子、分母，并且两个数的分子或分母存在明显的倍数关系，考虑用化同法。

5、公式法

常用三个公式：

（1）隔年增长率

如果第二期与第三期增长率分别为$r_1$与$r_2$，那么第三期相对于第一期的增长率$r=r_1+r_2+r_1\times r_2$

（2）增长率化除为乘近似公式

如果现期量为A，相对于基期的增长率为r%(r<5)，则基期值$A_0=\dfrac{A}{1\pm r\%} \approx A\times(1\mp  r\%)$，实际计算结果比真实值偏小，r越小，则误差越小，误差量级为$r^2$

则增长量近似为$A\times r\%$（常用）

（3）增长率的展开式

$(1+r\%)^n \approx 1+nr\% $，(r<5) 比真实值偏小。

6、差分法

所谓差分法，是指在比较两个分数大小时，经常会用到的一种“比较型”的速算技巧。

（1）分子、分母都较大的分数称为“大分数”

分子、分母都较小的分数称为“小分数”

（2）大分数和小分数分子、分母分别做差得到新的分数称为“差分数”

（3）差分数>小分数，则大分数>小分数

差分法的本质就是扩大两个分子、分母都很接近的分数之间的差距。

7、插值法

所谓插值法，是指在计算数值或者比较数值大小的时候，运用一个中间值进行参照比较的方式。

$\dfrac{1}{6}=0.167 \quad \dfrac{1}{7}=0.143 \quad \dfrac{1}{9}=0.11$

$\dfrac{1}{11}=0.091 \quad \dfrac{1}{12}=0.083 \quad \dfrac{1}{13}=0.077$

$\dfrac{1}{14}=0.071 \quad \dfrac{1}{15}=0.067$

8、复变法

（1）基本复变模型（两个变量相乘）

假设两个变量A、B，分别增长了a% b%，

则$A\times B$增长率变化：

$\dfrac{A\times(1+a\%)\times B\times(1+b\%)}{A\times B}-1=(1+a\%)\times(1+b\%)-1=a\%+b\%+a\%\times b\%$

实用提示：由于“增长率的积”一般数值很小，计算的时候给出大致的数值即可，不需要算出非常精细的值。

两个变量相除

$\dfrac{A}{B}$增长率变化（这个是不分基期现期的，因为都约掉了）：

$\dfrac{\frac{A\times(1+a\%)}{B\times(1+b\%)}}{\frac{A}{B}}-1=\dfrac{1+a\%}{1+b\%}-1=\dfrac{a\%-b\%}{1+b\%}$

实用提示：一般b%很小，我们往往直接用增长率的差来代替上面实际的比值增长率，或者稍微做一点修正即可。

示例：2008年，我国GDP总量达30.07万亿元，比上年增长9.0%，人口达到13.280亿，比上年增长0.508%，请问我国2008年人均GDP增长率为多少？

$\dfrac{r\%-v\%}{1+v\%}=\dfrac{9.0\%-0.508\%}{1+0.508\%}=\dfrac{8.492\%}{1.00508}<8.492\%$

资料分析当中，有一类计算非常麻烦，那就是比例的绝对变化，过程中需要经过很多的步骤，而且每一步都小心翼翼，不敢太大的近似，于是提供两个公式，来简化我们的计算过程。

（如何区分求A/B是增长率还是A/B的比重差：比重增长率是不会考的，比重一般都是百分数，没有增长率，只会考比重差；如果考增长率，那么A/B表示平均数，前者有A/B的值，后者没有A/B的值）

假如在基期，部分量为A，整体量为B，两者分别增长了a%、b%，请问部分占整体的比例变化了多少？

$\dfrac{A\times(1+a\%)}{B\times(1+b\%)}-\dfrac{A}{B}=\dfrac{A}{B}\times \dfrac{a\%-b\%}{1+b\%}$

假如在现期，部分量为A，整体量为B，两者分别增长了a% b%，请问部分占整体的比例变化了多少？

$\dfrac{A}{B}-\dfrac{\frac{A}{1+a\%}}{\frac{B}{1+b\%}}=\dfrac{A}{B}\times\dfrac{a\%-b\%}{1+a\%}$

首先想说的是，这两个公式，帮助我们在乘除之前先做减法，往下就可以根据选项进行大胆的近似了，看似没有简化计算，其实在实际操作当中才能体会公式的作用。常见问题为比重要占比提高了多少个百分点？

当部分量的增长速度大于整体量的增长速度 ，且部分量的增长率为正的时候，其比重的变化小于两个增长率之差。这个结论可以直接运用，可节省大量时间。这是因为：

$\dfrac{A}{B}\times \dfrac{1}{1+a\%}\times (a\%-b\%)$，一般情况下比重$\dfrac{A}{B}\lt 1$

所以$\dfrac{A}{B}\times \dfrac{1}{1+a\%}\lt 1$

所以两者的比重差值$\lt |a\%-b\%|$, $(a\%-b\%) \gt 0$表示比重上升，$(a\%-b\%) \lt 0$表示比重下降

（2）同向变化模型（A的增长率是否大于B）

假设两个变量A、B分别增长了a% b%，那么比值$\dfrac{A}{B}$的变化率应为$\dfrac{a\%-b\%}{1+b\%}$，因为这个变化率的分母是正的，所以我们可以知道，比值$\dfrac{A}{B}$是否变大，取决于分子A的变化率是否大于分母B的变化率。

我们再来进行下面两个数学变形：

$\dfrac{A}{B+A}=\dfrac{1}{\frac{B}{A}+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{\frac{A}{B}}+1}$

$\dfrac{A}{B-A}=\dfrac{1}{\frac{B}{A}-1}=\dfrac{1}{\frac{1}{\frac{A}{B}}-1}$

由上面两个变形我们可以发现$\dfrac{A}{B+A},\dfrac{A}{B-A}$这两个式子，与$\dfrac{A}{B}$的变化具有同样的方向。

$\dfrac{A}{B+A}$，表示A占A和B的总体的比重。

$\dfrac{A}{B-A}$， 表示A与B中其他部分的比值。

（3）混合增长率模型

在资料分析当中，经常可以碰到“连续两年”增长的模型，这时候的“混合增长率”与“各年增长率”之间满足比较简单的数量关系：

$r=(1+r_1)\times(1+r_2)-1=r_1+r_2+r_1\times r_2$

上面这个公式与我们刚刚学过的“乘各增长率”具有完全相同的形式，但统计意义 不相同。

由上面的公式，我们也可以得到一个现象，如果某个量依次增加或减少相同的比率（不论顺序），最后的结果相对最初肯定减少了。

9、增长法

先介绍三个“增长率”的基本定义：

（1）合成增长率

数量分别为A与B的两上部分，分别增长a%与b%，那么A、B整体的增长率r%应该满足

$r\%=\dfrac{A\times a\%+B\times b\%}{A+B}$

（2）混合增长率

如果第2期相对第1期增长率为$r_1$，第3期相对第2期的增长率为$r_2$，那么第N+1期相对于第1期的增长率

$r=\dfrac{a_{N+1}}{a_1}-1=\dfrac{a_1\times(1+r_1)\times\cdots\times(1+r_N)}{a_1}-1=(1+r_1)\times\cdots\times(1+r_N)-1$

（3）平均增长率

如果第1期的值为$a_1$，N期之后的第N+1期的值为$a_{n+1}$，那么从第1期到第N+1期的平均增长率$\bar{r}$满足如下定义关系式：

$a_{N+1}=a_1\times(1+\bar{r})^N$或者$\dfrac{a_{N+1}}{a_1}=(1+\bar{r})^N$

根据上面公式，可以推出下面的公式：

$(1+\bar{r})^N=\dfrac{a_{N+1}}{a_1}=(1+r_1)\times\cdots\times(1+r_N)$

$\Rightarrow \bar{r}=\sqrt[N]{\dfrac{a_{N+1}}{a_1}}-1=\sqrt[N]{(1+r_1)\times\cdots\times(1+r_N)}-1$

以年为周期的平均增长率，被称为“年增长率”，或“年均增长率”或“年均增幅 ”或“年均增速”。

（1）增长率逆推近似公式

如果第一期为$A_0$，第二期的值为A，第二期相对第一期的增涨了x%，则

$A=A_0\times(1+x\%)\Rightarrow A_0=\dfrac{A}{1+x\%}=A\times(1-x\%)+\dfrac{A}{1+x\%}\times(x\%)^2\approx A\times(1-x\%)$

如果第二期相对于第一期减少了x%，则

$A=A_0\times(1-x\%)\Rightarrow A_0=\dfrac{A}{1-x\%}=A\times(1+x\%)+\dfrac{A}{1-x\%}\times(x\%)^2\approx A\times(1+x\%)$

近似公式得到的结果都略小于真值，一般意义上，x%在5%以内，建议使用近似公式。

（2）合成增长法之十字交叉法（两个变量是相加的关系，常用）

数量分别为A与B的两个部分，分别增长a%与b%，整体增长率为r%，那么我们可以得到下面的关系：

$A\times a\%+B\times b\%=(A+B)\times r\%\Rightarrow \dfrac{A}{B}=\dfrac{r-b}{a-r}$

上面这种计算得到的是增长之前的比例，而不是之后。

所谓“十字交叉法”，本质上是一种“加权平均问题”。

譬如一个地区的城市人口和农村人口之比为 3∶7, 城市人口增长 5% , 农村人口增长 6% , 那么整个地
区的人口增长率应该在 5% 和 6% 之间。城市人口占 3 份,农村人口占 7 份,那么城市、农村对最终合成增长
率的影响力之比为 3∶7,即这个合成增长率与 5% 、6% 的距离之比应该是 7∶3, 即 5.7% 。这样的结果是比较容易口算得出的。

（3）年均增长率与各年增长率

$\bar{r}\approx \dfrac{1}{N}[(1+r_1)+\cdots+(1+r_N)]-1=\dfrac{r_1+r_2+\cdots+r_N}{N}$

我们按照上面的公式得到的结果一般会比真实的数值大一些，并且“各年增长率”越是接近，误差越小。

（4）年均增长率与混合长率

当我们知道各年各自的增长率时，我们用上面的公式求解“年均增长率”。但有时候，我们并不知道各年各自的增长率，仅仅只知道或者只关心初值和末值（即混合增长率），那么我们就需要运用另外的公式来近似了。

$(1+\bar{r})^N=\dfrac{a_{N+1}}{a_1}=1+r$

在数学上，我们又有下面的近似公式（泰勒展开）

$(1+\bar{r})^N=1+N\bar{r}+\dfrac{N(N-1)}{2}\bar{r}^2+\cdots\approx 1+N\bar{r}+\dfrac{N(N-1)}{2}\bar{r}^2$

于是，我们就得到了我们需要这个近似公式

$r\approx N\bar{r}+\dfrac{N(N-1)}{2}\bar{r}^2$

从上面的推导我们可以看出，按照上面的公式近似得到的“混合增长率”一般会比真实的数值略小一些，并且“年均增长率”越小，误差同时也越小。

10、综合法

所谓综合法，指的是在计算过程中，可以采用的一些简化计算的小技巧。

（1）错位相加/减

$A\times 9=A\times 10-A$

$A\times 99 = A\times 100-A$

$A\times 11 = A\times 10 + A$

$A\times 101 = A\times 100+A$

（2）乘除以5、25、125

$A\times 5 = 10A\div 2$ , $A\div 5 = 0.1A\times 2$

$A\times 25 = 100A \div 4, A\div 25=0.01A \times 4$

$A\times 125=1000A \div 8, A\div 125=0.001A\times 8$

（3）乘以1.5的速算技巧

减半相加，如

$1949\times 1.5 = 1949+1949\div 2= 1949+974.5=2923.5$

（4）“相同互补”两数相乘速算技巧

两个两位数，如果满足三个条件中任意一个（互补指相加为10）：

1. 十位相同，个位互补
2. 十位互补，个位相同
3. 某一个数的十位与个位相同，另一个数的十位与个位互补

（也可以这样记忆，4个数字中有2个相同，另外2个互补，但要排除一种情况：一个数的个位与另一个数的十位相同）

乘积的头=头 x 头+相同的数，乘积的尾=尾 x 尾

例如72x78，乘积的头=7x7+7=56，乘积的尾=2x8=16，所以72x78=5616

如果是两个三位数相乘，满足下面两个条件当中任意一个，也可以使用类似技巧：

1. 百位相同，后两位相加为100（此时尾需要占四位）
2. 百位、十位上同，个位相加为10

例如：325x375，头=3x3+3=12，尾=25x75=1875,即325x375=121875

心得：

基量=现量/(1+增速）
因为增速是个百分数，加1会对分母部分产生差异缩减影响
举个例子说，甲增速是3%，乙增速是30%，增速差了10倍，但是都加过1以后，甲的分母是1.03，乙的分母是1.3，差异急剧缩小
所以，可以先分析现量的大小关系，如果现量有显著差异（2倍及以上），现量的数值优势无法被分母逆转，可以通过现量大来判断基量也大
如果现量没有显著差异（相近，如1.5倍以内，不用细纠结），可以通过直除比较首位，首位相同的可以差分比较

参考：资料分析