公务员考试——数量专题

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公务员

正文

思路大于知识!!

一、初等数学

1、整除

(1)一个整数的末两位能被$2^2(5^2)$整除,这个数就能被$2^2(5^2)$整除。

(2)一个整数的末三位被被$2^3(5^3)$整除,这个数就能被$2^3(5^3)$整除。

(3)一个整数的各位数字之和能被3(9)整除,这个数就能被3(9)整除。

(4)如果一个整数奇数位上的数字偶数位上的数字和的能被11整除,这个数就能被11整除。

(5)这个数末三位与末三位之前的数字所组成的数之差能被7、11、13整除,这个数能被7、11、13整除。

2、约数的个数

如果将一个数字进行质数分解,把各个质因数的幂次数字分别加1,再相乘,得到的数字就是这个数字的个数。

3、余数问题口诀

余同取余,和同加和,差同减差,公倍数作周期。

(1)余同:“ 一个数除以 4 余 1, 除以 5 余 1, 除以 6 余 1”, 则取 1, 表示为 60n +1;

(2) 和同(4+3=5+2=6+1):“ 一个数除以 4 余 3, 除以 5 余 2, 除以 6 余 1”, 则取 7, 表示为 60n +7;

(3)差同(4-1=5-2=6-3):“ 一个数除以 4 余 1, 除以 5 余 2, 除以 6 余 3”, 则取 -3, 表示为 60n -3。

4、乘方尾数口诀

底数只保留个位,指数除以4留余数(更快的方式是取后2位除以4取余数),余数为0则换成4。此时所得新数的尾数即为原数的尾数

比如$2013^{2013}$,指数2013除以4余数为1,$3^1=3$,所以$2013^{2013}$的尾数为3。

5、三位数书页问题换算公式

若一本书一共有N页(N为三位数),用了M个数字:

从第1页到第9页,共9页,9个数字;

从第10页到99页,共90页,$90\times 2=180$个数字

从第100页到第N页,共$[3\times(N-100+1)]$个数字

依上可知:$M=3\times (N-100+1)+9+180$,得到$N=M\div 3+36$

6、裂项公式

(1)对于分母可以写成两个因数乘积形式的分数,即$\dfrac{1}{a\times b}$形式的,我们把较小的数写在前面,即$a<b$,那么有$\dfrac{1}{a\times b}=(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b})\times\dfrac{1}{b-a})$

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,则有

$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right]$

$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{1}{3}\left[ \dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right]$

(3)整数裂项公式

$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +(n-1)n=\dfrac{1}{3}(n-1)n(n+1)$

$1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+\cdots +(n-2)(n-1)n=\dfrac{1}{4}(n-2)(n-1)n(n+1)$

二、行程问题

1、环形运动

(1)反向:第N次相遇路程和为N个周长,环形周长=(大速度+小速度)x 相遇时间

(2)同向:第N次相遇路程差为N个周长,环形周长=(大速度-小速度)x 相遇时间

2、等距离平均速度公式

$V_{均}=\dfrac{2v_1 v_2}{v_1+v_2}$

1米/秒=3.6km/h

3、多次相遇

(1)两点相向出发:第N次迎面相遇,路程和=全程x(2N-1),第N次追上相遇,路径差=全程x(2N-1)。

(2)同点同向出发(两地往返):第N次迎面相遇,路程和=全程x2N,第N次追上相遇,路径差=全程x2N。

(3)两点相向发发,两次相遇距离公式:

单岸型:$S=\dfrac{3S_1+S_2}{2}$

两岸型:$S=3S_1-S_2$

其中S表示两地的距离,$S_1,S_2$表示相遇时距离某地的距离,单岸指的是数据针对的是同一地点,两岸指数据针对两个地点。如果题目中给出的不是两次相遇,而是三次或四次等,就不能使用这个公式。

推导:

$\dfrac{v_{甲}}{v_{乙}}=\dfrac{S_1}{S-S_1}=\dfrac{2S-S_2}{S+S_2}\Rightarrow S=\dfrac{3S_1+S_2}{2}$

$\dfrac{v_{甲}}{v_{乙}}=\dfrac{S_1}{S-S_1}=\dfrac{S+S_2}{2S-S_2}\Rightarrow S=3S_1-S_2$

4、公交问题

设每隔$t_1$分钟就遇到迎面开来的一辆公交,每隔$t_2$分钟就有辆公交从后面超过该人,有方程组:

$\left\{  \begin{aligned} S=&(v_{车}+v_{人})\times t_1\\ S=&(v_{车}-v_{人})\times t_2 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v_{车}=&\left( \dfrac{S}{t_1}+\dfrac{S}{t_2} \right)\div 2 \\ v_{人}=&\left(  \dfrac{S}{t_1}-\dfrac{S}{t_2} \right)\div 2 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} T=&\dfrac{S}{v_{车}}=\dfrac{2t_1t_2}{t_1+t_2}\\ N=&\dfrac{v_{车}}{v_{人}}=\dfrac{t_2+t_1}{t_2-t_1} \end{aligned} \right.$

三、工程问题

在考试中,多数情况下工作总量是不明确的,这时候我们可以假设 一个总量,常用的是设1法和设最小公倍数法。设1法就是把总量看作1个单位,根据时间得出效率,缺点是容易出现分数的计算 ,设最小公倍数法因为都是整数计算,所以是我们在解题中最常用的方法,此外,列方程也很常见。

四、统筹核算

情境特点:对于某个购买目标,有多家供应商可选,求最节省的购买方案。

思路:找到每一项的平均价钱最低者。在有优惠措施时,若总数恰好被组内整数整除时,则该平均价钱最低者即为所求方案,若不能恰好被整除,则多余部分需选择单价最低者。特别需要注意,题目通常并不要求一类物品只能在一家购买。

五、奥数经典题型

1、牛吃草问题

情景特点:某量以一定速度均匀增长,同时又以另一速度被均匀消耗。

通用公式:原有量=(每天被消耗量-每天新增量)x 可被消耗尽的天数

2、过河爬井问题

其一般情境为:一只青蛙爬出一口深A米的水井,白天可以向上爬B米,晚上会滑落C米,问这只青蛙多久能爬出井口。

通用公式:爬出天数$\ge\dfrac{A-C}{B-C}$,取整数。

为什么这么算?其实,每天爬几米不是关键,因为关键是每天能爬的最高点。

第一天,最高点是B米。

第二天,最高点(B-C)+B

....

依次类推,第n天最高点(n-1)(B-C)+B,只要这个最高点大于等于井深,就可以爬出来,所以$(n-1)(B-C)+B\ge A$,化简后得$n\ge\dfrac{A-B}{B-C}+1$,进一步通分即$n\ge \dfrac{A-C}{B-C}$,n取整。

过河问题原理与爬井问题一致,其一般情境为:有A个人需要过河,每次能过B个人,需要C人划船,问多少次能让所有人过河。

在考试时,不一定要求我们求多少次爬出来或多少次能过河,可能会要求我们算出第n次过河的总人数,公式为$(n-1)(B-C)+B$

3、比赛问题

(1)循环赛

N支队伍进行循环赛,每支队伍和其他任意队伍进行一场比赛,所以总场次为$C_{n}^{2}=\dfrac{N\times(N-1)}{2}$

(2)淘汰赛

每场淘汰一支队伍,若需要决出冠军,比赛场次为N-1,若要决出前3名,比赛场次为N。

4、空瓶换酒问题

我们一般将“M空瓶换N瓶酒”转化为“(M-N)空瓶换N(无瓶)酒”来完成答题。这样的题目默认是可以借瓶再还瓶的。

常用公式:N空瓶可换1瓶酒,则N瓶=1瓶洒=1瓶+1酒,得N-1瓶=1酒。

5、钟表问题

(1)时针一昼夜转2圈,分针一昼夜转24圈,分针与时针的转速比为12:1

(2)时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,呈$180^\circ$也是22次

(3)时针与分针呈某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

(4)钟面上一分名钟的间隔视为一小格,五分钟的间隔视作一大格。

(5)整个钟面为360度,上面有12个大格,每个大格为30度,60个小格,每个小格6度。

  1. 分针每分钟走1小格,每分钟走6度。
  2. 时针每分钟走$\dfrac{1}{12}$小格,每分钟走0.5度。

(6)钟表追及问题

假设时针、分针的转动角速度分别为v、12v,分针需要追及的角度为S,需要追及的时间为T,为方便比较,我们再假设如果时针静止时,分针需要追及的时间为$T_0$,那么:

$\left\{ \begin{aligned} S=&(12v-v)T \\ S=&(12v-0)T_0 \end{aligned} \right.$

所以可以推出$T=\dfrac{12}{11}T_0$,即$T=T_0+\dfrac{1}{11}T_0$

6、年龄问题

(1)每过N年,每个人都长N岁

(2)两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的

(3)两个人的年龄倍数关系随时间推移而变小

7、日期推断问题

(1)每隔N天,相当于(N+1)天

(2)平年有365天,$365\div 7=52\cdots 1$,那么365天之后星期几就等同于1天之后星期几,闰年比平年多一天。

六、初等几何

1、性质

(1)周长相同的平面几何图形,越接近于圆,面积越大

(2)面积相同的平面几何图形,越接近圆,周长越小

(3)表面积相同的立体几何图形,越接近球,体积越大

(4)体积相同的立体几何图形,越接近玗球,表面积越小

2、边端计数

(1)植树

  1. 单边线型植树公式:棵数=总长$\div$间隔+1,总长=(棵数-1)$\times$间隔
  2. 单边环形:棵树=总长$\div$间隔,总长=棵数$\times$间隔
  3. 单边楼间(两端不植):棵数=总长$\div$间隔-1,总长=(棵数+1)$\times$间隔
  4. 双边是单边的二倍

(2)剪绳

一根绳子连续对折N次,从中剪M刀,则绳子被剪成$2^N\times M+1$段

爬楼计数:从第N层爬到第M层,实际爬过M-N层,特殊的,从第1层爬到第N层,实际爬过N-1层

(3)方阵

N排N列的方阵人数为$N^2$人,最外层人数为4(N-1),最外两层的人数和为8(N-2)

方阵人数=$(最外层人数\div 4+1)^2$

方阵相邻两圈的人数都满足:外圈比内圈多8人。

七、排列组合

1、知识点

(1)平均分组问题不要忘了除以组的排列。比如4个人,分成2个人一组,相当于平均分成两个组,一共有$\dfrac{C_{4}^{2}}{A_2^{2}}=3$

(2)

$C_n^{0}=C_n^{n}=1(规定0!=1)$

$C_n^{m}=C_n^{n-m}$

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+\cdots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$

2、捆绑插空型

(1)相邻问题用捆绑

当题目表述为某两个或几个物体要求相邻时,考虑捆绑法。所谓捆绑法,就是将相邻的几个物体视作1个物体,再与其他的物体进行排列,这是第一步,第二步再考虑相邻的几个物体之间的排列序,第三步用乘法原理将两个结果相乘。

(2)不相邻问题用插空

当题目表述为某两个或几个物体不相邻时,考虑插空法。将其他几个物体先进行排列,然后将不相邻的物体插到已排列好的物体之间的空隙中去。第三步用乘法原理将两个结果相乘,一定要注意插空位置包括排好元素中间空位和两端空位。

3、环形排列

(1)n个不同事物进行环状排列:$\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$

环状排列只考虑事物的相对位置,所以拿一个事物作为参照物,将其余的事物进行全排列。

环状排列数也为$\dfrac{直线排列数}{排列个数}$

(2)n个不同事物中任取m个事物进行环状排列$\dfrac{A_n^m}{m}$

(3)前面提到的环状排列不可以翻转,但如果是正反无区别的事物进行排列,比如项链,翻转后与翻转前是重复的,所以项链排列方法为$\dfrac{环状排列数}{2}$

八、容斥原理

1、三集合容斥

假设只满足一个条件的个数为x,只满足两个条件的个数为y,同时满足三个条件的个数为z。

(1)$|A\cup B\cup C|=x+y+z$

(2)$|A|+|B|+|C|=x+2y+3z$

(3)$A\cap B+B\cap C+A\cap C = y+3z$

(4)$A\cap B\cap C = z$

九、概率问题

1、n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率为$C_n^k\dot p^k(1-p)^{n-k}$

2、几何概率

如果概率问题不能用传统方法解决,可以尝试借助几何图形来作答,关键是确定符合条件的事件所占的几何图形区域。

十、极值问题

1、极端构造

(1)直接构造出符合题意的情形

(2)数列构造

题目一般是给出列出有大小顺序的数,或者给出总数,问其中的某个位置最多或最少是多少。某个位置最多,其他位置则尽可能少,某个位置最少,其他位置尽可能地多。我们根据项数列出方程求解。

审题时一定注意结果 必须是整数还是允许保留小数。

2、不等式

不等式可以看作是方程的延伸。

(1)$a+b\ge 2\sqrt{ab}$,a,b是正实数。

(2)算术平均数:是指各项数据和除以项数,如1、4、8的算术平均数$\dfrac{1+4+8}{3}$

(3)调和平均数:又称倒数平均数,是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。$\dfrac{1}{(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+1)\div 3}$

(4)几何平均数:是指值连乘的积的n次方根。$\sqrt[3]{1\times 4\times 8}$

(5)平方平均数:一组数据的平方和平均数的算术平方根。$\sqrt{\dfrac{1+4^2+8^2}{3}}$

(6)$调和平均数\le 几何平均数 \le 算术平均数 \le 平方平均数$

当各项数相等时取等号

参考:数量