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$1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

$1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

这个公式有两种证明方式：

方式一（归纳猜想）

（1）N=1时，成立

（2）假设N=x时，也成立。

（3）则当N=x+1时

$1^2+2^2+...+x^2+(x+1)^2$

$= \dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}+\dfrac{x+1}{2}$

$=(x+1)\dfrac{2x^2+x+6(x+1)}{6}$

$=(x+1)\dfrac{(2x+3)(x+2)}{6}$

$=\dfrac{(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]}{6}$

方式二

利用等式$(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1$

$(n+1)^3-n^3  = 3n^2+3n+1$

$n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1$

...

$2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1$

把两端分别相加，得：

$(n+1)^3-1 = 3(1^2+2^2+3^2+..+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n$

$n^3+3n^2+3n = 3(1^2+2^2+3^2+..+n^2)+\dfrac{3(n+1)n}{2}+n$

整理

$1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$1+3+5+...+(2n-1) = \dfrac{2n-1+1}{2}n = n^2$

$2+4+6+...+(2n) = \dfrac{2n+2}{2}n = (n+1)n$

因为

$2^2+4^2+6^2+……+(2n)^2$

$=4(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$

$=\dfrac{4n(n+1)(2n+1)}{6}$

$=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

所以

$1^2+3^2+5^2+(2n-1)^2$

$=\dfrac{(2n)(2n+1)(4n+1)}{6}-\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$

$=\dfrac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$

$=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}$

$1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

推导过程利用$(n+1)^4$，类似于平方和的推导

$1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$

推导过程与平方和类似

$1\cdot 2+2\cdot 3+...+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$=1\cdot (1+1)+2\cdot (2+1)+3\cdot (3+1)+...+n\cdot (n+1)$

$=1^2+2^2+...+n^2+1+2+...+n$

$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}$

$=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$