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第一次数学危机(无理数的发现)

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家. 他曾创立了一个合政治-学术-宗教三位一体的神秘主义派别: 毕达歌拉斯学派. 由毕达歌拉斯提出的著名命题"万物皆数"是该学派的哲学基石. 而"一切数均可表成整数或整数之比"则是这一学派的数学信仰.

毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题: 边长为1的正方形其对角线长度是多少呢? 他发现这一长度不能用整数,也不能用分数表示, 而只能用一个新数表示. 希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数$\sqrt(2) $的诞生.

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上: 任何量, 在任何精确宽的范围内都可以表示成有理数. 可是为我们的经验所确信的, 完全符合常识的诊断居然被小小的$\sqrt(2)$的存在而推翻了! 这就是当时直接导致了人们认识上的危机, 从而导致了西方数学史上一场大的风波, 史称"第一次数学危机".

2000年后数学家们建立的实数理论才消除它.

第二次数学危机(无穷小是零吗?)

第二次数学危机导源于微积分工具的使用. 贝克莱一针见血地指出牛顿在对$x^n$(n是正整数)求导时既把$\Delta x$不当做0看而又把$\Delta x$当作0看是一个严重的自相矛盾, 从而几乎使微积分停滞不前, 后来还是柯西和魏尔斯特拉期等人提出无穷小是一个无限向0靠近, 但是永远不等于0的变量, 这才把微积分重新稳固地建立在严格的极限理论基础上, 从而消灭了这次数学危机.

第三次数学危机(悖论的产生)

十九世纪下半叶, 康托尔创立了著名的集合论. 1900年, 国际数学大会上, 法国著名数学家宠加莱就兴高采烈地宣称"......借助集合论概念, 我们可以建立整个数学大厦.....今天,我们可以说绝对的严格性已经到了......" 可是, 好景不长. 1903年, 一个震惊数学界的消息传出: 集合论是有漏洞的! 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论.

罗素构造了一个集合S: S由一切不是自身元素的集合所组成. 然后罗素问: S是否属于S呢? 根据排中律, 一个元素或者属于某个集合, 或者不属于某个集合. 因此, 对于一个给定的集合, 问是否属于它自己是有意义的. 但对这个看似合理的问题, 回答却会陷入两难境地. 如果S属于S, 根据S的定义, S就不属于S; 反之, 如果S不属于S, 同样根据定义, S就属于S. 无论如何都是矛盾.

危机产生后, 数学家纷纷提出自己的解决方案, 比如ZF公理系统. 这一问题现在还在进行中, 罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制, 以至于让罗素能构造一切集合的集合这样"过大"的集合.