正态分布

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数学

正文

正态分布或称高斯分布是目前应用最广泛的一类连续型分布,其概率密度函数为

$$f_X(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi(\delta^2)}}exp\left( -\dfrac{(x-\mu)^2}{2\delta^2}\right) , x\in R $$

其中参数$\mu \in R和\delta>0$。如果一个连续型随机变量的概率密度函数为上式,则我们称这个随机变量服从参数为$(\mu , \delta^2)$的正态分布,我们一般记作$X\sim N(\mu ,\delta^2)$。如果$X\sim N(0,1)$,我们称X服从标准正态分布。

中心极限定理解释了为什么正态分布具有很广的应用。

正态分布中一些值得注意的量:

(1)密度函数关于平均值对称。

(2)平均值是它的众数以及中位数。

(3)函数曲线下68%左右的面积在平均值左右的一个标准差范围内。

(4)95%左右的面积在平均值左右两个标准差范围内。

(5)99.7%在3个标准差。

(6)99.99%在4个标准差。