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一、矩阵

1、基本运算

（1）矩阵加法

设有两个同型矩阵 $A$ 和 $B$，它们的加法定义为将对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵 $C$：

$C = A + B$

（2）矩阵减法

两个同型矩阵 $A$ 和 $B$ 的减法定义为将对应位置的元素相减，得到一个新的矩阵 $C$：

（3）矩阵数量乘法

矩阵与一个标量 $k$ 的数量乘法定义为将矩阵中的每个元素乘以 $k$，得到一个新的矩阵 $C$：

（4）矩阵乘法

设有两个矩阵 $A$ 和 $B$，它们的乘法定义为：

如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$B$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，那么它们的乘积 $C$ 是一个 $m \times p$ 的矩阵，其中 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为：

$C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}$

（5）转置

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作 $A^T$。如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，那么 $A^T$ 是一个 $n \times m$ 的矩阵，其中 $A^T_{ij} = A_{ji}$。

（6）逆矩阵

对于一个可逆矩阵 $A$，其逆矩阵记作 $A^{-1}$，满足 $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。

2、行约简

矩阵的行约简是对矩阵进行一系列行变换，使得矩阵变为行阶梯形或行最简形的过程。

（1）行阶梯形是指矩阵满足以下条件：

• 矩阵的第一个非零元素在每一行上的列数比前一行大。
• 每一行的第一个非零元素为1。
• 每一行的第一个非零元素下方的元素都为0。

（2）行约简的过程

• 将矩阵的第一个非零元素（称为主元素）变为1：通过将主元素除以自身的值，将其变为1。
• 使用主元素消元：通过对其他行进行适当的加减操作，将主元素所在列的其他元素变为0。
• 重复以上步骤：对下一行重复执行相同的操作，直到矩阵变为行阶梯形或行最简形。

（3）示例

考虑以下3x4的矩阵：

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

我们将对这个矩阵进行行约简的操作，使其变为行阶梯形。

• 第一步：将第一行的主元素变为1

我们可以将第一行的主元素2除以2，得到1，然后用第一行的元素去消除第二行和第三行的第一个元素。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

• 第二步：使用主元素消元
  接下来，我们将使用第一行的主元素1，消除第二行和第三行的第一个元素。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

• 第三步：将第二行的主元素变为1

继续进行操作，将第二行的主元素1除以1，得到1，然后用第二行的元素去消除第三行的第一个元素。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

• 第四步：使用主元素消元
  最后，使用第二行的主元素1，消除第三行的第一个元素。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3、矩阵的转置

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。如果原矩阵是一个$m \times n$的矩阵，那么转置后得到一个$n \times m$的矩阵。

例如，考虑一个$2 \times 3$的矩阵A：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

这个矩阵的转置记作$A^T$，即将A的行和列互换得到：

$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

（1）矩阵转置的性质

• $(A^T)^T = A$，即对一个矩阵进行两次转置会得到原始矩阵。
• $(kA)^T = kA^T$，其中$k$是一个标量。
• $(A + B)^T = A^T + B^T$，即矩阵的和的转置等于每个矩阵转置后的和。

4、行列式

只有方阵才有行列式。

给定一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，其行列式 $|A|$ 可以通过递归展开计算得到。展开定理如下：

$|A| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

其中，$a_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$M_{ij}$ 是与元素 $a_{ij}$ 对应的代数余子式，$i$ 可以是任意选定的行号。

（1）递归的基础情况

对于 $2 \times 2$ 的矩阵：

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

其行列式为：

$|A| = ad - bc$

（2）示例

假设我们有一个 $3 \times 3$ 的矩阵：

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

我们可以按照递归展开的方法计算行列式。选择第一行展开：

$|A| = 2(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 3(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$

继续计算每个 $2 \times 2$ 子矩阵的行列式，然后代入上式进行计算，最终得到这个 $3 \times 3$ 矩阵的行列式值。

5、置换

在线性代数中，矩阵的置换通常指的是对矩阵的行或列进行重新排列的操作。这种操作可以用来改变矩阵的排列顺序，但不改变矩阵中元素之间的关系。

（1）行置换

对于一个矩阵，行置换是指交换矩阵中的两行。例如，对于一个 $3 \times 3$ 矩阵：

$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

行置换可以是将任意两行进行交换，比如交换第一行和第三行：

$A' = \begin{bmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ a & b & c \end{bmatrix}$

（2）列置换

类似地，列置换是指交换矩阵中的两列。对于同样的 $3 \times 3$ 矩阵：

$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

列置换可以是将任意两列进行交换，比如交换第一列和第二列：

$A' = \begin{bmatrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \end{bmatrix}$

（3）置换矩阵

置换矩阵是一个特殊的方阵，其只包含一个主对角线上为1，其他位置为0的矩阵。置换矩阵用于表示行或列的置换操作。例如，对于一个 $3 \times 3$ 的置换矩阵 $P$，用于交换第一列和第三列的置换矩阵可以表示为：

$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

6、行列式的其他公式

（1）行列式的转置

一个矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即 $\det(A) = \det(A^T)$。

（2）行列式的倍增

如果一个矩阵有两行或两列完全相同，那么它的行列式为0。

（3）行列式的因子分解

如果一个矩阵 $A$ 可以分解为两个矩阵 $B$ 和 $C$ 的乘积，那么其行列式满足 $\det(AB) = \det(A) \det(B)$。

（4）克拉默法则

对于一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，如果 $A$ 是可逆的（即 $\det(A) \neq 0$），那么可以使用克拉默法则来求解线性方程组。

考虑一个包含 $n$ 个未知数和 $n$ 个方程的线性方程组：

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1$
$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2$
$\vdots$
$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n$

如果矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) \neq 0$，其中 $A$ 是系数矩阵，那么克拉默法则表明方程组的解为：

$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$

其中 $A_i$ 是将系数矩阵 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数项矩阵 $B$ 后得到的矩阵。

二、群

1、合成法则

群是一种代数结构，它包含了一组元素以及一个将任意两个元素组合成第三个元素的二元运算。为了构成群，这个运算必须满足以下四个条件，即群的公理：

（1）封闭性。对于群 G 中的任意元素 a 和 b，其运算结果 a * b 也必须在群 G 中。

（2）结合律。对于群 G 中的任意元素 a、b 和 c，有 (a * b) * c = a * (b * c)。

（3）单位元存在性。群 G 中存在一个元素 e，使得对于任意元素 a，都有 e * a = a * e = a。

（4）逆元存在性。对于群 G 中的任意元素 a，存在一个元素 b，使得 a * b = b * a = e，其中 e 是单位元。

2、群与子群

子群是指一个群 ( G ) 中的一个子集 ( H )，它在 ( G ) 的群运算下本身也构成一个群。

（1）子群的判定定理

一个非空子集 ( H ) 是群 ( G ) 的子群当且仅当对于任意的$( a, b \in H )$，元素 $( a * b^{-1} )$ 也在 ( H ) 中。

（2）正规子群

如果 ( H ) 是 ( G ) 的一个子群，并且对于 ( G ) 中的每个元素 ( g )，都有 ( gH = Hg )（即 ( g ) 与 ( H ) 中的每个元素的乘积仍然在 ( H ) 中），那么 ( H ) 被称为正规子群，记作 $( H \trianglelefteq G )$。正规子群在构造商群（quotient group）时非常重要。

3、整数加群的子群

整数加群（记作 $\mathbb{Z}$）是由所有整数构成的集合，群运算是整数加法。对于整数加群 $\mathbb{Z}$ 的子群，有一个非常有趣且简单的结构特点：$\mathbb{Z}$ 的每一个子群都是形如 $n\mathbb{Z}$ 的集合，其中 $n$ 是一个非负整数，$n\mathbb{Z}$ 表示所有能被 $n$ 整除的整数的集合。

这个性质的证明基于整数的除法算术，特别是带余除法。这里是一个简化的证明过程：

（1）非空性。因为子群必须包含群的单位元，所以任何 $\mathbb{Z}$ 的子群 $H$ 必须包含 $0$。

（2）封闭性。如果 $a$ 和 $b$ 都在子群 $H$ 中，那么他们的差 $a - b$ 也必须在 $H$ 中，这是因为子群必须对群运算封闭，而整数加群的运算是加法，其逆运算是减法。

（3）最小正元。考虑 $H$ 中的所有正整数（如果有的话），并选择最小的一个，记为 $n$。由于 $H$ 是封闭的，因此 $n$ 的所有倍数 $mn$（其中 $m$ 是任意整数）也必须在 $H$ 中。

（4）子群的形式。我们可以证明 $H$ 中的任何整数都必须是 $n$ 的倍数。假设存在 $H$ 中的某个整数 $a$ 不是 $n$ 的倍数，我们可以通过带余除法写成 $a = qn + r$，其中 $0 < r < n$。因为 $a$ 和 $qn$ 都在 $H$ 中，它们的差 $a - qn = r$ 也必须在 $H$ 中。但这与 $n$ 是 $H$ 中最小的正整数矛盾，因此所有 $H$ 中的整数都必须是 $n$ 的倍数。

（5）结论。因此，$\mathbb{Z}$ 的任何子群 $H$ 都可以表示为 $n\mathbb{Z}$ 的形式。

这个结论说明整数加群的子群结构非常简单：它们都是由单个整数的倍数构成的集合。这是群论中一个非常特殊的情况，因为不是所有群的子群结构都这么简单直观。

4、循环群

循环群是群论中的一个基本概念，指的是由单个元素的所有幂生成的群。如果群 ( G ) 中存在一个元素 ( a ) 使得 ( G ) 中的每个元素都可以写成 ( a ) 的幂（对于乘法群）或 ( a ) 的整数倍（对于加法群），那么 ( G ) 就是一个循环群，元素 ( a ) 称为这个群的生成元。

循环群可以是有限的，也可以是无限的，具体取决于生成元的阶（即最小的正整数 ( n ) 使得$( a^n = e )$，其中 ( e ) 是群的单位元）。如果这样的 ( n ) 存在，则群是有限的；如果对于所有的正整数 ( n )，$( a^n \neq e )$，那么群是无限的。

循环群有几个重要性质：

（1）子群。循环群的所有子群也都是循环的。特别是，有限循环群 ( G ) 的每个子群都是 ( G ) 的某个元素的幂的形式。

（2）同构。所有有限循环群 ( G ) 的阶为 ( n ) 的都同构于加法下的模 ( n ) 的剩余类群$( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} )$，所有无限循环群都同构于整数加群 $( \mathbb{Z} )$。

（3）生成元的个数。有限循环群 ( G ) 的阶为 ( n ) 的生成元的个数等于 ( n ) 的欧拉函数值 $( \varphi(n) )$，这是小于或等于 ( n ) 的正整数中与 ( n ) 互质的数的个数。

5、同态

在群论中，同态是一个非常重要的概念。一个群同态是指从一个群到另一个群的一个函数，它保持群运算的结构。具体来说，如果 ( G ) 和 ( H ) 是两个群，那么一个函数 $( f: G \rightarrow H )$ 被称为同态，如果对于所有 ( G ) 中的元素 ( a ) 和 ( b ) 有：

$$f(a \cdot_G b) = f(a) \cdot_H f(b)$$

这里的 $( \cdot_G )$ 和 $( \cdot_H )$ 分别表示群 ( G ) 和群 ( H ) 的群运算。如果群是加法群，那么上述条件可以写为：

$$f(a +_G b) = f(a) +_H f(b)$$

（1）同态中几个重要的特殊情况

• 单射。如果 ( f ) 是一个单射，那么它被称为单同态或嵌入。
• 满射。如果 ( f ) 是一个满射，那么它被称为满同态。
• 双射。如果 ( f ) 是一个双射，即同时是单射和满射，那么它被称为同构。同构意味着两个群在结构上是完全相同的。

（2）同态的几个基本性质

• 单位元的像。同态将一个群的单位元映射到另一个群的单位元。
  
  $$f(e_G) = e_H$$
• 逆元的像。同态将一个元素的逆元映射到其像的逆元。
  
  $$f(a^{-1}) = f(a)^{-1}$$
• 核和像。同态的核是定义为 ( G ) 中所有映射到 ( H ) 的单位元的元素的集合。核是 ( G ) 的一个正规子群。同态的像是 ( f ) 的值域，即 ( H ) 中所有 ( f ) 的输出的集合。像是 ( H ) 的一个子群。
• 第一同态定理。如果 $( f: G \rightarrow H )$ 是一个同态，那么 ( G ) 模去 ( f ) 的核是与 ( f ) 的像同构的。

6、同构

7、等价关系和切分

（1）等价关系

在群 $G$ 上定义一个等价关系 $\sim$，如果对于 $a, b \in G$，满足以下三个性质：

• 自反性。对于任意 $a \in G$，有 $a \sim a$。
• 对称性。对于任意 $a, b \in G$，如果 $a \sim b$，则 $b \sim a$。
• 传递性。对于任意 $a, b, c \in G$，如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，则 $a \sim c$。

（2）切分

在群 $G$ 上定义一个切分，即将 $G$ 分成互不相交的非空子集合，使得这些子集合的并集等于 $G$。这些子集合称为切分类。一个切分 $C$ 满足以下性质：

• 非空性。切分类中的每个子集合都是非空的。
• 互不相交性。切分类中的每两个不同的子集合是互不相交的。
• 并集性质：切分类中所有子集合的并集等于原集合 $G$。

8、陪集

（1）左陪集

对于一个群 $G$ 和它的子群 $H$，$H$ 对于 $G$ 的左陪集是形如 $gH = \{gh \mid h \in H\}$，其中 $g \in G$。换句话说，左陪集是由群中的元素与 $H$ 中的元素相乘而得到的集合。

（2）右陪集

类似地，$H$ 对于 $G$ 的右陪集是形如 $Hg = \{hg \mid h \in H\}$，其中 $g \in G$。右陪集是由 $H$ 中的元素与群中的元素相乘而得到的集合。

（3）左陪集和右陪集的性质

• 对于任意群 $G$ 和子群 $H$，左陪集和右陪集的元素个数相等。
• 陪集的元素不一定是子群 $H$ 的元素，但是它们具有相同的元素个数。
• 不同的左陪集之间是不相交的，同样，不同的右陪集之间也是不相交的。

（4）拉格朗日定理

拉格朗日定理是群论中的重要定理，它指出对于任意有限群 $G$ 和它的子群 $H$，$H$ 的阶数（元素个数）能整除 $G$ 的阶数。换句话说，$|G| = |H| \times [G:H]$，其中 $[G:H]$ 表示 $G$ 中左陪集的个数，也等于右陪集的个数。

9、模算术

（1）加法性质

$(a + b) \mod n = ((a \mod n) + (b \mod n)) \mod n$

（2）乘法性质

$(a \cdot b) \mod n = ((a \mod n) \cdot (b \mod n)) \mod n$

（3）指数性质

$(a^k) \mod n = ((a \mod n)^k) \mod n$

10、对应定理

11、积群

（1）定义

给定两个群 /$G/$ 和 /$H/$，它们的直积（积群）/$G \times H/$ 定义为集合 /$(g, h)/$，其中 /$g \in G/$ 且 /$h \in H/$，并且定义操作如下：

• 乘法操作。/$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)/$，其中 /$\cdot/$ 分别是 /$G/$ 和 /$H/$ 中的乘法操作。
• 单位元。单位元是 /$(e_G, e_H)/$，其中 /$e_G/$ 是 /$G/$ 的单位元，/$e_H/$ 是 /$H/$ 的单位元。
• 逆元。/$(g, h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})/$，其中 /$(g, h) \in G \times H/$，/$g^{-1}/$ 和 /$h^{-1}/$ 分别是 /$g/$ 和 /$h/$ 的逆元。

（2）性质

• 封闭性。/$G \times H/$ 在乘法操作下是封闭的，即对于任意 /$(g_1, h_1)/$ 和 /$(g_2, h_2)/$ 属于 /$G \times H/$，它们的乘积 /$(g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)/$ 也属于 /$G \times H/$。
• 结合律。直积 /$G \times H/$ 满足结合律，即/$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)/$ 对任意 /$(a, b, c) \in G \times H/$ 成立。
• 单位元。直积 /$G \times H/$ 中的单位元是 /$(e_G, e_H)/$，其中 /$e_G/$ 是 /$G/$ 的单位元，/$e_H/$ 是 /$H/$ 的单位元。
• 逆元。对于任意 /$(g, h) \in G \times H/$，其逆元为 /$(g^{-1}, h^{-1})/$。

12、商群

给定一个群 $G$ 和它的一个子群 $H$，$H$ 对于 $G$ 的左陪集构成了一个集合，我们可以定义这个集合上的一个二元运算，称为商集上的乘法运算。商群就是这个商集关于这个乘法运算构成的群。

（1）构造商群的步骤

• 定义商集。定义 $G$ 关于 $H$ 的左陪集 $gH$ 的集合，其中 $g \in G$。
• 定义乘法运算。定义商集上的乘法运算，通常是将左陪集的代表元相乘，即 $(gH) \cdot (g'H) = (gg')H$，其中 $g, g' \in G$。
• 检验群的性质。验证商集关于乘法运算构成一个群，包括封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。

（2）性质

• 商群的阶。商群的阶等于 $|G| / |H|$，其中 $|G|$ 表示群 $G$ 的阶，$H$ 是 $G$ 的子群。

三、向量空间

1、Rn的子空间

在线性代数中，$\mathbb{R}^n$ 表示包含所有由 $n$ 个实数组成的向量的向量空间，也称为 $n$ 维实向量空间。一个向量空间的子空间是指一个向量空间的非空子集，且其本身也是一个向量空间。对于 $\mathbb{R}^n$，它包含许多不同的子空间。

（1）零子空间

零子空间是 $\mathbb{R}^n$ 中最基本的子空间，只包含零向量。它总是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。

（2）核（零化空间）

列空间是由矩阵的所有列向量张成的空间。对于一个 $m \times n$ 的矩阵，其列空间是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。

（3）像空间

像空间是线性变换 $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 的值域，也称为映射的列空间。

（3）直和空间

如果 $U$ 和 $V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，且任何 $\mathbb{R}^n$ 中的向量都可以唯一地表示为 $U$ 中的一个向量和 $V$ 中的一个向量的和，那么 $U$ 和 $V$ 的直和空间是 $\mathbb{R}^n$。

2、域

域是一个更广泛的代数结构，它包含了向量空间中的标量，通常是实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$。

（1）定义

域是一个集合，其中定义了加法和乘法两种二元运算，并满足以下性质：

• 加法满足交换律、结合律和存在零元素。
• 乘法满足交换律、结合律和存在单位元素。
• 对于非零元素，存在乘法逆元素。
• 乘法对加法分配律成立。

3、向量空间

4、基和维数

（1）基的定义

一个向量空间 $V$ 的基是一个线性无关的向量集合，它可以生成整个向量空间 $V$ 中的任意向量。换句话说，基是一个极大线性无关集。

（2）性质

• 基的向量个数称为向量空间的维数。
• 任意向量空间都有基。
• 一个向量空间可能有多个不同的基。
• 基的选择影响了向量空间中向量的坐标表示。

5、用基计算

6、直和

在线性代数中，直和是指将两个或多个子空间的所有元素相加得到的新空间，这个新空间包含了这些子空间的所有元素的组合。直和通常用符号 $\oplus$ 表示。

（1）定义

设 $V$ 是一个向量空间，$U$ 和 $W$ 是 $V$ 的两个子空间。如果满足以下条件，则 $U$ 和 $W$ 的直和被定义为：

• $U \cap W = \{ \mathbf{0} \}$，即 $U$ 和 $W$ 的交集只包含零向量。
• 对于任意 $v \in V$，存在唯一的 $u \in U$ 和 $w \in W$，使得 $v = u + w$。

（2）符号表示

直和通常表示为 $U \oplus W$。

（3）性质

• 直和空间中的任意向量可以唯一地表示为两个子空间中的一个向量的和。
• 直和空间的维数等于两个子空间的维数之和。

7、无限维空间

（1）定义

一个向量空间被称为无限维的，如果它的基包含无限多个向量。这意味着这个向量空间不能用有限个向量生成，而是需要无限多个向量来表示。

（2）例子

• 多项式空间。$P$ 是所有实系数多项式组成的集合。这是一个无限维向量空间，因为我们可以用 $1, x, x^2, x^3, \ldots$ 这些无限多个向量来生成它。
• 函数空间。在函数空间中，例如连续函数空间或可积函数空间，函数的集合形成一个无限维向量空间。

四、线性算子

1、维数公式

假设 $V$ 是一个有限维向量空间，如果 $B$ 和 $C$ 是 $V$ 的两个基，那么 $B$ 和 $C$ 的元素个数相同。换句话说，任意两个基的维数是相同的。

这个定理的表述可以用数学符号表示为：

如果 $B = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ 和 $C = \{w_1, w_2, \ldots, w_m\}$ 是向量空间 $V$ 的两个基，则 $n = m$。

2、线性变换的矩阵

3、线性算子

（1）定义

设 $V$ 和 $W$ 是两个向量空间，一个从 $V$ 到 $W$ 的线性算子 $T$ 是一个函数，满足以下两个性质：

• 对于任意的向量 $v, u \in V$ 和标量 $a, b$，有 $T(av + bu) = aT(v) + bT(u)$。
• 对于任意的向量 $v \in V$ 和标量 $a$，有 $T(av) = aT(v)$。

（2）性质

• 线性性质。线性算子满足线性性质，即对加法和数乘运算保持线性。
• 核和值域。线性算子的核是指所有映射到零向量的输入向量组成的集合，值域是指所有可能的输出向量组成的集合。
• 可逆性。线性算子可能是可逆的，即存在逆算子，使得逆算子和原算子的复合是单位算子。
• 矩阵的表示。线性算子可以用矩阵表示，通过选择合适的基，可以将线性算子表示为矩阵形式。

4、特征向量

特征向量是指在线性变换下仅被伸缩而不改变方向的非零向量。

（1）定义

设 $T$ 是一个线性变换或一个矩阵，如果存在一个非零向量 $v$ 使得

$T(v) = \lambda v$

其中 $\lambda$ 是一个标量（称为特征值），则向量 $v$ 被称为 $T$ 的特征向量，对应的标量 $\lambda$ 是该特征向量对应的特征值。

（2）性质

• 特征值和特征向量的计算。要找到特征向量和特征值，通常需要求解线性方程组 $(A - \lambda I)v = 0$，其中 $A$ 是矩阵表示的线性变换，$\lambda$ 是特征值，$I$ 是单位矩阵。
• 特征向量的重要性。特征向量提供了关于线性变换或矩阵行为的重要信息，它们帮助我们理解线性变换如何影响向量空间。
• 特征向量的线性无关性。对于不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的，这意味着对角化矩阵时，我们可以使用特征向量来构成矩阵的特征向量矩阵。

5、特征多项式

特征多项式是一个与矩阵相关的多项式，它可以帮助我们找到矩阵的特征值。

（1）定义

设 $A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$，特征多项式 $p_A(x)$ 定义为：

$p_A(x) = \text{det}(A - xI)$

其中，$I$ 是单位矩阵，$\text{det}$ 表示行列式。特征多项式的根就是矩阵 $A$ 的特征值。

（2）性质

• 特征值与特征多项式的关系。矩阵的特征值是特征多项式的根，即如果 $p_A(\lambda) = 0$，则 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值。
• 特征多项式的次数。特征多项式的次数为矩阵的阶数 $n$，因为特征多项式是一个 $n$ 次多项式。
• 特征多项式的系数。特征多项式的系数可以表示为矩阵的迹（trace）和行列式（determinant），这些系数包含了矩阵的重要特征。

6、三角形与对角形

（1）三角形矩阵

一个三角形矩阵是一个方阵，其中所有主对角线以下（或以上）的元素都是零。三角形矩阵可以分为上三角形矩阵和下三角形矩阵，具体取决于非零元素的位置。

例如：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

（2）对角形矩阵

一个对角形矩阵是一个方阵，除了主对角线上的元素外，所有其他元素都是零。对角形矩阵的形式如下：

$\begin{bmatrix} a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} \end{bmatrix}$

7、若尔当形

（1）若尔当形

若尔当形是一种特殊的矩阵标准形式，它可以将任意复数域上的方阵（矩阵）通过相似变换（相似矩阵）变换为若尔当矩阵的形式。若尔当矩阵是一个由若尔当块（Jordan block）组成的对角矩阵，其中若尔当块是一种特殊的矩阵结构。

（2）若尔当块

若尔当块是一个形如：

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{bmatrix}$

的方块矩阵，其中对角线上是相同的特征值 $\lambda$，并且紧邻对角线的位置有值为 1 的元素。一个若尔当块描述了一个线性变换在特征向量不足的情况下的“最大不可约子空间”。

（3）如何得到若尔当形

• 计算矩阵的特征值和特征向量。
• 构造若尔当块，将特征向量组织成若尔当块的形式。
• 将若尔当块组合成若尔当矩阵，形成矩阵的若尔当形。

五、线性算子的应用

1、正交矩阵与旋转

（1）正交矩阵

一个正交矩阵是一个实数方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵。换句话说，一个正交矩阵满足以下条件：

$Q^T \cdot Q = Q \cdot Q^T = I$

其中，$Q^T$ 是矩阵 $Q$ 的转置，$I$ 是单位矩阵。正交矩阵的列向量是正交的，即彼此垂直，并且每个列向量的范数为1。正交矩阵保持向量的长度和角度不变。

（2）旋转矩阵与正交矩阵

在二维空间中，一个旋转矩阵是一个正交矩阵，用于表示平面上的旋转操作。旋转矩阵通常以极坐标形式表示，其中：

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$

这个矩阵描述了一个绕原点旋转角度 $\theta$ 的变换。在三维空间中，旋转矩阵也是一种特殊的正交矩阵，用于描述三维空间中的旋转操作。

（3）正交矩阵的性质

• 正交矩阵的行（或列）向量是正交的。
• 正交矩阵的行（或列）向量是单位向量。
• 正交矩阵的行列式的值为 ±1。
• 正交矩阵的逆矩阵是其转置矩阵。

2、连续性的使用

一个线性算子 $T: V \rightarrow W$，其中 $V$ 和 $W$ 是向量空间，被称为连续的，如果对于任意的 $v \in V$，当 $v$ 趋近于某个值时，$T(v)$ 也趋近于某个值。换句话说，如果对于任意的 $\epsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$，使得当 $\| v - v_0 \| < \delta$ 时，有 $\| T(v) - T(v_0) \| < \epsilon$，那么算子 $T$ 被称为连续的。

3、微分方程组

在线性微分方程组中，我们通常会遇到形如以下的方程组：

$\frac{d}{dt} \mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t) + \mathbf{b}(t)$

其中，$\mathbf{x}(t)$ 是未知函数向量，$A$ 是一个线性算子（通常是矩阵），$\mathbf{b}(t)$ 是一个已知函数向量。这种形式的微分方程描述了系统的演化规律，可以通过线性代数的技巧求解。

4、矩阵指数

对于线性微分方程组，解可以表示为矩阵指数函数的形式：

$\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}(0)$

其中，$e^{At}$ 是矩阵指数函数，它可以通过特征值和特征向量来计算。

六、对称

1、平面图形的对称

2、等矩

3、平面的等矩

4、平面上正交片子的有限群

5、离散等矩群

（1）定义

一个**等矩群**是指一个群 $G$，其中的每个元素都是一个等矩变换，即在欧几里德空间中的等矩变换组成的集合，并且这个群在欧几里德度量下是紧致的。

如果这个等矩群的元素是离散的（即没有连续性），那么这个等矩群就被称为**离散等矩群**。

（2）性质

• 紧致性。离散等矩群在欧几里德度量下是紧致的，这意味着在度量空间中，任何开覆盖都能找到有限子覆盖。
• 离散性。离散等矩群的元素是离散的，即没有连续性。这意味着群中的元素之间存在间隔，不会连续变化。
• 等矩变换。离散等矩群中的每个元素都是一个等矩变换，即保持距离和角度不变的变换。

6、平面晶体群

平面晶体群是指平面上的一组对称操作（平移、旋转、镜像等）构成的群，描述了平面晶格的对称性。这些对称操作保持晶格不变，即在进行对称操作后，晶格看起来仍然相同。

7、抽象对称：群作用

8、对陪集的作用

9、计数公式

10、在子集上的作用

11、置换表示

12、旋转群的有限子群

七、群论的进一步讨论

1、凯莱定理

任何群 $G$ 都同构于某个置换群（对称群），即存在一个同构映射将群 $G$ 嵌入到某个对称群中。

2、类方程

给定一个有限群 $G$，它的类方程表示为：

$|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{k} [G : C_G(g_i)]$

其中：

- $|G|$ 表示群 $G$ 的阶（元素个数）。
- $Z(G)$ 表示群 $G$ 的中心（所有与群中元素交换的元素构成的集合）的阶。
- $g_1, g_2, \ldots, g_k$ 是 $G$ 中不同的代表元素，它们分别代表 $G$ 中的不同共轭类。
- $C_G(g_i)$ 表示 $G$ 中元素 $g_i$ 的中心化子（与 $g_i$ 共轭的元素构成的集合）的阶。
- $[G : C_G(g_i)]$ 表示 $G$ 中 $C_G(g_i)$ 的指数（也称为指数定理）。

3、p-群

（1）定义

p-群是指群的阶（元素个数）为素数 $p$ 的有限群。

（2）特点

• 阶数为素数。 p-群的阶是一个素数 $p$。
• 非平凡中心。p-群的中心 $Z(G)$ 非平凡，即不仅包含单位元素，还包含其他元素。
• 非平凡的子群。p-群存在非平凡的子群，即除了单位元素和整个群本身以外还有其他子群。
• 共轭类的性质。p-群中每个元素都形成一个单元素共轭类，即每个元素都是自己的共轭。
• 幂零元素。 p-群中的元素的幂次方总是等于单位元素，即 $g^{p} = e$ 对于所有 $g \in G$。

4、二十面体群的类方程

（1）共轭类

在一个群 $G$ 中，对于任意元素 $g$，共轭类 $[g]$ 是由形如 $hgh^{-1}$ 的元素组成的集合，其中 $h$ 是 $G$ 中的任意元素。如果两个元素在群作用下可以相互转化，它们就属于同一个共轭类。

（2）二十面体

二十面体群（icosahedral group）是指正二十面体的对称群，记作 $I$ 或 $A_5$，它是由正二十面体的所有旋转和翻转操作所组成的群。

（3）二十面体的类方程

二十面体群 $I$ 是一个含有60个元素的有限群。它的类方程可以通过以下方式计算：

• 二十面体群 $I$ 的中心 $Z(I)$ 由单位元素构成，因为对称群中的中心是平凡的。
• 二十面体群 $I$ 有5个共轭类，因为它是 $A_5$ 的子群，而 $A_5$ 有5个共轭类。
• 共轭类的元素个数可以通过群的阶和共轭类的指数来计算。

假设 $r$ 表示一个正二十面体的旋转操作，$f$ 表示一个正二十面体的翻转操作。在二十面体群中，我们有以下共轭类：

• 由单位元素构成的单一共轭类：包含单位元素 $e$。
• 旋转操作的共轭类：包含 $r, r^2, r^3, r^4$及其组合，共有12个元素。
• 翻转操作的共轭类：包含 $f, fr, fr^2, fr^3, fr^4$，共有12个元素。
• 五次对角线的共轭类：包含 $r^2f, r^3f, r^4f, rf, r$，共有12个元素。
• 三次对角线的共轭类：包含 $r^2, r^3, r$，共有24个元素。

因此，二十面体群 $I$ 的类方程为：

$|I| = |Z(I)| + 12 + 12 + 12 + 24$

$60 = 1 + 12 + 12 + 12 + 24$

5、对称群里的共轭

（1）共轭的概念

在一个群 $G$ 中，给定两个元素 $a$ 和 $b$，如果存在一个元素 $g$ 使得 $gag^{-1} = b$，那么我们称元素 $a$ 和 $b$ 是共轭的。这里的 $g$ 是群 $G$ 中的任意元素。

（2）对称群中的共轭

对称群是置换群的一种，它由对称操作（置换）组成。在对称群中，两个置换是共轭的，意味着它们在群的作用下可以相互转化。

在对称群中，两个置换 $σ$ 和 $τ$ 是共轭的，如果存在一个置换 $π$，使得 $πσπ^{-1} = τ$。这意味着通过一个置换 $π$ 对置换 $σ$ 进行共轭操作，可以得到置换 $τ$。

（3）共轭类

在一个群中，共轭关系将群中的元素分成了不同的等价类，这些等价类称为共轭类。每个共轭类包含了在群中相互共轭的元素。

在对称群中，共轭类是由相互共轭的置换组成的集合。每个共轭类代表了一组在群作用下相互转化的置换。

6、正规化子群

（1）定义

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。如果对于群 $G$ 中的每个元素 $g$，都有 $gH = Hg$，即左陪集等于右陪集，那么子群 $H$ 被称为群 $G$ 的正规子群，记作 $H \triangleleft G$。

（2）性质

• 左陪集等于右陪集。对于正规子群 $H$，其左陪集等于右陪集，即对于任意 $g \in G$，有 $gH = Hg$。
• 共轭不变。正规子群在共轭作用下保持不变，即如果 $H \triangleleft G$，那么对于任意 $g \in G$ 和 $h \in H$，有 $ghg^{-1} \in H$。
• 商群的定义。对于正规子群 $H$，可以定义商群 $G/H$，商群是由左陪集 $gH$ 组成的集合，并且具有群的结构。
• 核的性质。正规子群的核是整个群本身，即如果 $H \triangleleft G$，则核为群 $G$ 本身，即 $\text{ker}(H) = G$。

在商群 $G/H$ 中，单位元素是左陪集 $H$ 本身。这是因为在商群中，单位元素是等价类，而等价类是左陪集。因此，单位元素是 $H$。

7、西罗定理（Sylow）

该定理描述了有限群的子群的存在性和数量的限制。

（1）第一Sylow定理

设 $G$ 是一个有限群，$p$ 是一个素数，$p^k$ 是 $G$ 的阶的一个因子，那么 $G$ 包含一个阶为 $p^k$ 的子群。

（2）第二Sylow定理

第二个Sylow定理是第一个Sylow定理的推论，它给出了子群的数量的限制：

设 $G$ 是一个有限群，$p$ 是一个素数，$p^k$ 是 $G$ 的阶的一个因子，$n_p$ 是 $G$ 中阶为 $p^k$ 的子群的个数。那么有以下性质：

• $n_p \equiv 1 \pmod{p}$（即 $n_p$ 和 $1$ 对 $p$ 取模同余）；
• $n_p$ 是 $G$ 的阶的一个因子；
• $n_p = 1$ 意味着这个子群是正规的。

（3）第三Sylow定理

设 $G$ 是一个有限群，$p$ 和 $q$ 是不同的素数，$n_p$ 和 $n_q$ 分别是阶为 $p^k$ 和 $q^m$ 的Sylow子群的个数。如果 $n_p$ 和 $n_q$ 是群的阶的因子，那么这两个Sylow子群的交集是一个只包含单位元素的子群。

8、12阶群

9、自由群

10、生成元与关系

11、托德考克斯特算法

托德考克斯特算法（Todd-Coxeter Algorithm）是一种用于计算有限群的表示的算法。

托德考克斯特算法的基本思想是通过迭代地计算群的某个子群的左陪集或右陪集，从而得到群的表示。以下是算法的基本步骤：

八、双线性型

1、双线性型

2、对称型

3、埃尔米特型

4、正交性

5、欧几里得空间与埃尔米特空间

（1）欧几里德空间

欧几里得空间是一个实内积空间，也就是一个带有内积（点积）的实向量空间。在欧几里得空间中，向量之间的内积定义了向量的长度（模）和夹角。

欧几里得空间中的内积满足对称性、线性性和正定性。

（2）埃尔米特空间

埃尔米特空间是一个复内积空间，也就是一个带有内积的复向量空间。在埃尔米特空间中，向量之间的内积是一个复数，满足线性性和共轭对称性。

内积的共轭对称性是埃尔米特空间的重要特点。

6、谱定理

谱定理提供了一种将这些特殊类型的矩阵或算子对角化的方法，从而使得它们的特征值和特征向量更易于研究和理解。

7、圆锥曲线与二次曲面

8、斜对称型

九、线性群

1、典型群

2、插曲：球面

3、特殊酉群

4、旋转群

5、单参数群

6、李代数

7、群的平移

8、SL2的正规子群

十、群的表示

1、定义

2、既约表示

（1）定义

给定一个群 $G$，它的一个表示 $\rho : G \rightarrow GL(V)$ 被称为既约表示，如果在表示空间 $V$ 中不存在非平凡的 $G$-不变子空间。

（2）性质

• 不可约性。既约表示是不可约的，即不能通过分解为更小的不变子空间来进一步简化。
• 独立性。既约表示是相互独立的，不同的既约表示在表示空间中没有重叠。
• Schur引理。Schur引理指出，如果 $V$ 和 $W$ 是两个不同的既约表示空间，且存在一个 $G$-同态映射 $T : V \rightarrow W$，那么 $T$ 要么是零映射，要么是一个同构映射。

3、酉表示

给定一个群 $G$，它的一个表示 $\rho : G \rightarrow U(n)$，其中 $U(n)$ 是单位矩阵的集合，被称为群 $G$ 的酉表示。在这种表示中，群的元素被表示为酉矩阵，满足 $\rho(g)^\dagger \rho(g) = \rho(g) \rho(g)^\dagger = I$，其中 $\dagger$ 表示共轭转置。

4、特征标

（1）定义

设 $G$ 是一个有限群，$\rho : G \rightarrow GL(V)$ 是 $G$ 的一个表示，其中 $V$ 是一个复向量空间。特征标 $\chi$ 是一个从 $G$ 到复数域上的函数，定义为特征值的迹函数，即 $\chi(g) = \text{Tr}(\rho(g))$，其中 $\text{Tr}$ 表示矩阵的迹。

（2）性质

• 特征标是一个类函数（Class Function），即对于同一个共轭类中的元素，特征标取相同的值。
• 特征标在群的乘法下是不变的，即对于任意 $g, h \in G$，有 $\chi(gh) = \chi(g)\chi(h)$。

5、1维特征标

6、正则表示

对于一个群 $G$，它的正则表示是一个表示 $\rho_{\text{reg}} : G \rightarrow \text{GL}(V)$，其中 $V$ 是由群 $G$ 的元素作为基所生成的线性空间。正则表示将每个群元素 $g \in G$ 映射为一个线性变换 $\rho_{\text{reg}}(g)$，使得对于任意 $h \in G$，有 $\rho_{\text{reg}}(g)(h) = gh$。

7、舒尔引理

设 $\rho$ 和 $\sigma$ 是有限群 $G$ 的两个复表示，如果存在一个 $G$-同态映射 $T : V(\rho) \rightarrow V(\sigma)$，其中 $V(\rho)$ 和 $V(\sigma)$ 分别是表示 $\rho$ 和 $\sigma$ 的向量空间，使得 $T$ 是非零的并且与表示群 $G$ 的作用相容，则有以下结论：

• 如果表示 $\rho$ 是不可约的，则 $T$ 要么是零映射，要么是一个同构映射。
• 如果表示 $\rho$ 和 $\sigma$ 是等价的（即存在一个 $G$-同构映射将它们联系起来），则它们的不可约部分相同。

8、正交关系的证明

9、SU2的表示

十一、环

1、环的定义

一个环是一个集合 $R$ 配备了两种二元运算，通常记作加法（+）和乘法（$\cdot$），满足以下性质：

（1）加法结合律

对于任意 $a, b, c \in R$，有 $a + (b + c) = (a + b) + c$。

（2）加法交换律

对于任意 $a, b \in R$，有 $a + b = b + a$。

（3）加法单位元素

存在一个元素 $0 \in R$，称为加法单位元素（零元素），使得对于任意 $a \in R$，有 $a + 0 = a$。

（4）加法逆元

对于每个 $a \in R$，存在一个元素 $-a \in R$，称为 $a$ 的加法逆元素，使得 $a + (-a) = 0$。

（5）乘法结合律

对于任意 $a, b, c \in R$，有 $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$。

（6）乘法分配律

对于任意 $a, b, c \in R$，有 $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 和 $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$。

（7）乘法单位元

存在一个元素 $1 \in R$，称为乘法单位元素（幺元素），使得对于任意 $a \in R$，有 $a \cdot 1 = a$。

如果一个环满足乘法交换律，即对于任意 $a, b \in R$，有 $a \cdot b = b \cdot a$，那么这个环被称为**交换环**。

如果一个环中乘法满足消去律，即对于任意 $a, b, c \in R$，如果 $a \cdot b = a \cdot c$ 或者 $b \cdot a = c \cdot a$，则必有 $b = c$，那么这个环被称为**整环**。

如果一个环中每个非零元素都有乘法逆元素，即对于每个 $a \in R$，若 $a \neq 0$，则存在 $a^{-1} \in R$，使得 $a \cdot a^{-1} = 1$，那么这个环被称为**域**。

2、多项式环

（1）定义

给定一个环 $R$，多项式环 $R[x]$ 是由形如

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

的多项式构成的集合，其中 $a_i \in R$ 是环 $R$ 中的元素，$x$ 是一个形式符号。在多项式环中，加法和乘法的定义如下：

• 加法。

  两个多项式的加法是分量相加，即对于任意 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ 和 $g(x) = \sum_{i=0}^{m} b_i x^i$，它们的和为

  $f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^{\max(m,n)} (a_i + b_i) x^i$

• 乘法。

  两个多项式的乘法是按照分配律展开，即对于任意 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们的乘积为

  $f(x) \cdot g(x) = \sum_{i=0}^{n+m} \left( \sum_{j=0}^{i} a_j b_{i-j} \right) x^i$

（2）性质

• 多项式环 $R[x]$ 是一个环，它包含加法单位元素（零多项式）和乘法单位元素（常数多项式1）。
• 交换环。如果环 $R$ 是一个交换环，那么多项式环 $R[x]$ 也是交换环。
• 整环。如果环 $R$ 是一个整环，那么多项式环 $R[x]$ 也是整环。
• 域。如果环 $R$ 是一个域，那么多项式环 $R[x]$ 不是域，但是可以构造出一个商环 $R[x]/I$，其中 $I$ 是一个多项式环 $R[x]$ 中的理想，使得商环是一个域。

3、同态与理想

（1）同态

设 $R$ 和 $S$ 是两个环，一个从 $R$ 到 $S$ 的映射 $\phi: R \rightarrow S$ 被称为环的同态映射，如果对于任意 $a, b \in R$，有 $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)$ 和 $\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b)$。

（2）理想

在环论中，一个理想是环的一个子集，满足以下性质：

• 对于环 $R$ 中的任意元素 $a, b$，如果 $a$ 在理想中，那么 $a + b$ 和 $b \cdot a$ 也在理想中。
• 对于环 $R$ 中的任意元素 $r$ 和理想中的任意元素 $a$，$r \cdot a$ 和 $a \cdot r$ 也在理想中。

4、商环

（1）定义

设 $R$ 是一个环，$I$ 是 $R$ 的一个理想。商环 $R/I$ 是由 $R$ 中与理想 $I$ 中的元素等价的元素构成的集合，定义了加法和乘法运算。具体来说：

• 加法。对于任意 $a, b \in R$，定义 $a + I$ 和 $b + I$ 的和为 $(a + b) + I$。
• 乘法。对于任意 $a, b \in R$，定义 $a + I$ 和 $b + I$ 的乘积为 $(a \cdot b) + I$。

商环 $R/I$ 中的元素形式为 $a + I$，其中 $a \in R$。商环的加法和乘法运算保证了商环仍然是一个环。

（2）商环的性质

• 封闭性。商环的加法和乘法运算是封闭的，即对于任意 $a, b \in R$，$a + I$ 和 $b + I$ 的和与乘积仍然在商环中。
• 零元素。商环中的零元素是 $0 + I$，即理想 $I$ 中的元素构成商环的零元素。
• 单位元素。商环中的单位元素是 $1 + I$，即 $1_R$ 加上理想 $I$。
• 同态性。商映射 $R \rightarrow R/I$ 是一个环同态，将 $R$ 中的元素映射到其在商环中的等价类。

5、元素的添加

6、积环

（1）定义

给定两个环 $R$ 和 $S$，它们的积环 $R \times S$ 是由元素对 $(r, s)$，其中 $r \in R$ 且 $s \in S$，构成的集合。在积环中，定义了逐位运算的加法和乘法：

• 加法。$(r_1, s_1) + (r_2, s_2) = (r_1 + r_2, s_1 + s_2)$
• 乘法。$(r_1, s_1) \cdot (r_2, s_2) = (r_1 \cdot r_2, s_1 \cdot s_2)$

（2）性质

• 环结构。积环 $R \times S$ 是一个环，它继承了每个环 $R$ 和 $S$ 的环结构，包括加法单位元素和乘法单位元素。
• 零元素。积环的零元素是 $(0_R, 0_S)$，其中 $0_R$ 是环 $R$ 的零元素，$0_S$ 是环 $S$ 的零元素。
• 乘法单位元素。积环的乘法单位元素是 $(1_R, 1_S)$，其中 $1_R$ 是环 $R$ 的乘法单位元素，$1_S$ 是环 $S$ 的乘法单位元素。
• 分配律。

  积环满足分配律，即对于任意 $(r, s), (r_1, s_1), (r_2, s_2) \in R \times S$，有

  $(r, s) \cdot ((r_1, s_1) + (r_2, s_2)) = (r, s) \cdot (r_1, s_1) + (r, s) \cdot (r_2, s_2)$

7、分式

（1）定义

给定一个整环 $R$，其零元素不为零除数，我们可以定义 $R$ 的分式环为所有形如 $\frac{a}{b}$，其中 $a, b \in R$ 且 $b \neq 0$，的集合。在分式环中，我们定义加法和乘法如下：

• 加法。$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
• 乘法。$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

（2）性质

• 域的性质。如果 $R$ 是一个整环，则其分式环是一个域。在域中，每个非零元素都有逆元素。
• 等价关系。分式环中的分式可以通过等价关系来定义。如果两个分式 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 满足 $ad = bc$，则它们是等价的。
• 唯一性。分式环中的每个元素都可以表示为一个不可约的分数，即分子和分母的最大公因数为1。

8、极大理想

给定一个环 $R$，它的非零真理想 $I$ 被称为极大理想，如果对于任何包含 $I$ 的真理想 $J$，要么 $J = I$，要么 $J = R$。换句话说，极大理想是在所有真理想中最大的那些理想。

9、代数几何

代数几何主要关注的是通过代数方法研究几何对象的性质，以及通过几何方法研究代数结构的性质。

十二、因子分解

1、整数的因子分解

整数的因子分解是将一个给定的整数表示为一系列素数的乘积的过程。

2、高斯引理

如果整数 $a$ 和 $b$ 都可以被整数 $c$ 整除，那么它们的乘积 $ab$ 也可以被 $c$ 整除。

3、整多项式的分解

4、高斯素数

（1）高斯整数

高斯整数（Gaussian Integers）是复数平面上的整数，由德国数学家高斯引入，用于研究数论中的整数环。高斯整数是形如 $a + bi$ 的复数，其中 $a$ 和 $b$ 都是整数，而 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。在高斯整数中，我们可以定义素数的概念，称为高斯素数。

（2）高斯素数

在高斯整数中，一个非零的高斯整数 $z = a + bi$ 被称为高斯素数，如果它只能被单位元素（$\pm 1, \pm i$）和自身整除。换句话说，如果一个高斯整数 $z$ 除了单位元素和自身之外没有其他因子，那么它是一个高斯素数。

（3）判定方法

一个高斯整数 $z = a + bi$ 是高斯素数，当且仅当 $a^2 + b^2$ 是素数，或者 $a + bi$ 是一个实整数的平方

十三、二次数域

1、代数整数

2、分解代数整数

3、Z[-5]中的理想

4、理想的乘法

5、分解理想

6、素理想与素整数

7、理想类

8、计算类群

9、实二次域

10、关于格

十四、环中的线性代数

1、自由模

2、恒等式

3、整数矩阵的对角化

4、生成元和关系

5、诺特环

6、阿贝尔群的结构

7、有限域

8、本原元

9、函数域

10、代数基本定理

十五、伽罗瓦理论

1、对称函数

2、判别式

3、分裂域

4、域扩张的同构

5、固定域

6、伽罗瓦扩张

7、主要定理

8、三次方程

9、四次方程

10、单位根

11、库默尔扩张

12、五次方程