阅读数:67 评论数:0

一、曲面方程与空间曲线方程的概念

如果曲面$S$与三元方程

$$F(x,y,z)=0$$

有下述关系：

1、曲面$S$上任一点的坐标都满足方程。

2、不在曲面S上的点的坐标都不满足方程。

那么，方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形。

空间曲线可以看作两个曲面$S_1,S_2$的交线，设

$F(x,y,z)=0 \quad G(x,y,z)=0$

分别是这两个曲面的方程，它们的交线为C，可表示为

$\left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)&=0 \\ G(x,y,z)&=0 \end{aligned} \right.$

二、平面的点法式方程

设$M(x,y,z)$是平面II上的任一点，则平面上的向量$\overrightarrow{M_0M}$必与平面的法线向理$n$垂直，即它们的数量乘积等于零。

因为$n=(A,B,C),\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，所以有

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

这个方程就叫做平面的点法式方程。

三、平面的一般方程

$Ax+By+Cz+D=0$

上面的方程称为平面的一般方程，其中$x、y、z$的系数就是该平观的一个法线向量的坐标。

而方程

$\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}+\cfrac{z}{c}=1$

称为平面的截距方程，而$a,b,c$依次叫做平面在$x,y,z$轴上的截距。

四、两平面的夹角

两平面的法向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角。

设两平面的法线向量依次为$n_1=(A_1,B_1,C_1)$和$n_2=(A_2,B_2,C_2)$

则夹角可由

$$\cos \theta=\cfrac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}+\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

来确定。