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一、空间直线的一般方程

$\left\{ \begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 &=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 &=0 \end{aligned} \right.$

叫做空间直线的一般方程。

二、空间直线的对称式方程与参数方程

当直线L上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$和它的一方向向量$s=(m,n,p)$为已知时，直线L的位置就完全确定了。有方程

$$\cfrac{x-x_0}{m}=\cfrac{y-y_0}{n}=\cfrac{z-z_0}{p}$$

称为直线的对称式方程或点向式方程。

如设

$$\cfrac{x-x_0}{m}=\cfrac{y-y_0}{n}=\cfrac{z-z_0}{p}=t$$

则

$\left\{  \begin{aligned} x&=x_0+mt,\\ y&=y_0+nt,\\ z&=z_0+pt \end{aligned} \right.$

称为直线的参数方程。

三、两直线的夹角

两直线方向向量的夹角叫做两直线的夹角。

设方向向量依次为$s_1=(m_1,n_1,p_1)$和$s_2=(m_2,n_2,p_2)$

则可通过

$$\cos \varphi=\cfrac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}+\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

来确定。

四、直线与平面的夹角

设直线的方向向量为$s=(m,n,p)$，平面的法线向量$n=(A,B,C)$，则可通过

$$\sin \varphi=\cfrac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}+\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$

来确定。