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一、曲面研究的基本问题

在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题：

1、已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；

2、已知坐标$x,y$和$z$间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状；

二、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

设在$yOz$坐标面上有一已知曲线C，它的方程为

$$f(y,z)=0$$

把这曲线绕$z$轴旋转一周，就得到一个以$z$轴为轴的旋转曲面，其方程为：

$$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$$

同理，曲线C绕$y$轴旋转所成的旋转曲面的方程为

$$f(y,\pm\sqrt{x^2+y^2}=0$$

三、柱面

一般地，直线L沿定曲线C平移形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L做叫术面的母线。

四、二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程$F(x,y,z)=0$所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面。

二次曲面有九各，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程。

1、椭圆锥面

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=z^2$

平面$z=t$与曲面$F(x,y,z)=0$的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。

另外，我们还可以利用伸缩变形的方法来研究曲面形状。

2、椭球面

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=0$

3、单叶双曲面

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z^2}{c^2}=1$

4、双叶双曲面

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}-\cfrac{z^2}{c^2}=1$

5、椭圆抛物面

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=z$

6、双曲抛物面

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=z$

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1,\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1,x^2=ay$

依次称为椭圆柱面、双面柱面、抛物柱面。前面都有讨论。