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一、简介

初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。

函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。

二、映射

1、概念

定义：设$X、Y$是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对$X$中每个元素$x$，按法则$f$，在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应，那么称$f$从$X$到$Y$的映射，记作

$$f:X\to Y$$

其中$y$称为元素$x$（在映射$f$下）的像，并记作$f(x)$，即

$$y=f(x)$$

其中元素$x$称为元素$y$（在映射$f$下）的一个原像；集合$X$称为映射$f$的定义域，记作$D_f$，即$D_f=X$；$X$中所有元素的像所组成的集合称为映射$f$的值域，记作$R_f$或$f(X)$，即

$$R_f=f(X)={f(x)|x\in X}$$

2、满射、单射、双射

设$f$是从集合$X$到集合$Y$的映射，若$R_f=Y$，即$Y$中任一元素$y$都是$X$中某元素的像，则称$f$为$X$到$Y$的满射。

若任意两个不同元素$x_1\not= x_2$，它们的像$f(x_1)\not= f(x_2)$，则称$f$为$X$到$Y$的单射。

若$f$既是单射，又是满射，则称$f$为双射。

3、算子、泛函、变换、函数

映射又称算子，根据集合$X、Y$的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称。

例如，从非空集合$X$到数集$Y$的映射又称为$X$上的泛函数，从非空集合$X$到它自身的映射又称为$X$上的变换，从实数集（或其子集）$X$到实数集$Y$的映射通常称为定义在$X$上的函数。

4、逆映射与复合映射

设$f$是$X$到$Y$的单射，则由定义，对每个$y\in R_f$，有唯一的$x\in X$，适合$f(x)=y$。于是，我们可以定义一个从$R_f$到$X$的新映射$g$，即

$$g:R_f\to X，$$

对于每个$y\in R_f$，规定$g(y)=x$，这$x$满足$f(x)=y$。这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$，其定义域$D_{f^{-1}}=R_f$，值域$R_{f^{-1}}=X$。

设有两个映射

$$g:X\to Y_1, \qquad f:Y_2\to Z,$$

其中$Y_1\subset Y_2$，则由映射$g$和$f$可以定出一个从$X$到$Z$的对应法则，它将每个$x\in X$映成$f[g(x)]\in Z$。显然，这个对应法则确定了一个从$X$到$Z$的映射，这个映射称为映射$g$和$f$构成的复合映射，记作$f\circ g$，即

$$f\circ g:X\to Z，(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$$

三、函数

1、概念

定义  设数集$D\subset R$，则称映射$f:D\to R$为定义在$D$上的函数，通常简称为

$$y=f(x), \quad x\in D，$$

其中$x$称为自变量，$y$t称为因变量,$D$称为定义域，记作$D_f$，即$D_f=D$

函数的定义域通常按以下两种情形来确定：

（1）有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定。

（2）抽象地用算式表达式的函数，通常约定这种函数的定义域是使用算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。

表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。

2、函数的几种特性

（1）函数的有界性

设函数$f(x)$的定义域为$D$，数集$X\subset D$，如果存在数$K_1$，使得

$$f(x)\le K_1$$

对任一$x\in X$都成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有上界，而$K_1$称为函数$f(x)$在$X$上的一个上界。如果存在数$K_2$，使得

$$f(x)\ge K_2$$

对任一$x\in X$都成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有下界，而$K_2$称为函数$f(x)$在$X$上的一个下界。如果存在正数$M$，使得

$$$|f(x)|\le M$

对任一$x\in X$都成立，那么称函数$f(x)$在$X$上有界，如果这样的$M$不存在，变称函数$f(x)$在$X$上无界。

（2）函数的单调性

设函数$f(x)$的定义域为$D$，区间$I\subset D$，如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1\lt x_2$时，恒有

$$f(x_1)\lt f(x_2)，$$

那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调增加的；如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1\lt x_2$时，恒有

$$f(x_1)\gt f(x_2)$$

那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。

（3）函数的奇偶性

设函数$f(x)$的定义域$D$关于原点对称，如果对于任一$x\in D$，

$$f(-x)=f(x)$$

恒成立，那么称$f(x)$为偶函数。如果对于任一$x\in D$，

$$f(-x)=-f(x)$$

恒成立，那么称$f(x)$为奇函数。

（4）函数的周期性

设函数$f(x)$的定义域$D$。如果存在一个正数$l$，使得对于任一$x\in D$有$(x\pm \)\in D$，且

$$f(x+l)=f(x)$$

恒成立，那么称$f(x)$为周期函数，$l$称为$f(x)$的周期，通常我们说的周期函数的周期指最小正周期。

3、反函数和复合函数

（1）反函数

反函数是逆映射的特例。

（2）复合函数

复合函数是复合映射的一种特例。

4、函数的运算

设函数$f(x)、g(x)$的定义域依次为$D_f，D_g，D=D_f\cap D_g\not=\varnothing$，则我们可以定义两个函数的下列运算：

和（差）$f\pm g: \quad (f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x), x\in D;$

积$f\cdot g: \quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D;$

商$\frac{f}{g}: \quad \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D\backslash \{x|g(x)=0,x\in D\}$

5、初等函数

（1）幂函数

$y=x^{\mu}$（$\mu\in R$是常数）

（2）指数函数

$y=a^x$（$a>0$且$a\not= 1$）

（3）对数函数

$y=log_a^x$（$a>0$且a\not= 1，特别当$a=e$时，记为$y=lnx$）

（4）三角函数

如$y=sin x$

（5）反三角函数

以上五类解为基本初等函数，由常和基本初始函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。