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准则I

如果数列$\{x_n\},\{y_n\}$及$\{z_n\}$满足以下条件：

（1）从某项起，即$\exists n_0\in N_+$，当$n\gt n_0$时，有

$$y_n\le x_n \le z_n;$$

（2）$\displaystyle \lim_{n\to \infty} y_n=a,\lim_{n\to \infty} z_n=a$，

那么数列$\{x_n\}$的极限存在，且$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a$

上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：

（1）当$x\in \mathring{U}(x_0,r)$（或$|x|\gt M$）时

$$g(x)\le f(x)\le h(x)$$;

（2）$\displaystyle \lim_{\begin{eqnarray*}{x\to x0} \\ {(x\to \infty)}\end{eqnarray*}} g(x)=A$,$\displaystyle \lim_{\begin{eqnarray*}{x\to x_0} \\ {x\to \infty}\end{eqnarray*}} h(x)=A$

那么$\displaystyle \lim_{\begin{eqnarray*}{x\to x0} \\ {(x\to \infty)}\end{eqnarray*}} f(x)$存在，且等于$A$

准则II

单调有界数列必有极限。

设函数$f(x)$在点$x_0$的某个左邻域内单调并且有界，则$f(x)$在$x_0$的左极限$f(x_0^-)$必定存在。

柯西极限存在准则

数列$x_n$收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$m\gt N,n\gt N$时，有

$$|x_n-x_m|\gt \varepsilon$$