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一、简介

极限的概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的，极限方法已成为高等数学中的一种基本方法。

二、数列极限的定义

定义  设$\{x_n\}$为一数列，如果存在常数$a$，对于任意给定的正数$\xi$（不论它多么小），总存在正整数$N$，使得当$n\gt N$时，不等式

$$|x_n-a|\lt \xi$$

都成立，那么就称常数$a$是数列$\{x_n\}$的极限，或者称数列$\{x_n\}$收敛于$a$，记为

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty }x_n=a$$，

或

$$x_n\to a（n\to \infty）$$

三、收敛数列的性质

1、极限的唯一性

定理： 如果数列$\{x_n\}$收敛，那么它的极限唯一。

2、收敛数列的有界性

定理：如果数列$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$一定有界。

3、收敛数列的保号性

定理：如果$\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=a$，且$a\gt 0$（或$a\lt 0$），那么存在正整数$N$，当$n\gt N$时，都有$\x_n \gt 0$（或$x_n \lt 0$）

4、收敛数列与其子数列间的关系

定理：如果数列$\{x_n\}$收敛于$a$，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是$a$。