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一、简介

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。主要研究两种情形：

1、自变量$x$任意地接近于有限值$x_0$或者说趋于有限值$x_0$（记作$x\to x_0$）时，对应的函数值$f(x)$的变化情形。

2、自变量$x$的绝对值$|x|$无限增加大即趋于无穷大（记作$x\to \infty$）时，对应的函数值$f(x)$的变化情形。

二、自变量趋于有限值时函数的极限

1、定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心领域内有定义。如果存在常数$A$，对于任意全定的正数$\xi$（不论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0\lt |x-x_0|\lt \delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

$$|f(x)-A|\lt \xi$$

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作

$$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A或f(x)\to A(当x\to X_0)$$

三、自变量趋于无穷大时函数的极限

1、定义

设函数$f(x)$当$|x|$大于某一正数时有定义。如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\xi$（不论它多和小），总存在着正数$X$，使得当$x$满足不等式$|x|\gt X$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

$$|f(x)-A|\lt \xi$$

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to \infty$的极限，记作

$$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=A或f(x)\to A （当x\to \infty）$$

四、函数极限的性质

1、函数极限的唯一性

如果${\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)}$存在，那么这极限唯一。

2、函数极限的局部有界性

如果$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A$，那么存在常数$M\gt 0$和$\delta\gt 0$，使得当$0\lt |x-x_0|\lt \delta$时，有$|f(x)|\le M$

3、函数极限的局部保号性

如果$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=A$，且$A\gt 0$（或A\lt 0），那么存在常数$\delta \gt 0$，使得当$0\lt |x-x_0|\lt \delta$时，有$f(x)|gt 0$（或$f(x)\lt 0$）

4、函数极限与数列极限的关系

如果$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)$存在，$\{x_n\}$为函数$f(x)$在定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足$x_n\not= x_0（n\in N_{+}）$，那么相应的函数值数列$\{f(x_n)\}$必收敛，且$\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(x_n)=\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)$