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一、无穷小

1、定义

如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小。

2、定理

在自变量的同一变化过程$x\to x_0$（或$x\to \infty$）中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是无穷小。

二、无穷大

1、定义

设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心领域内有定义（或$|x|$大于正数时有定义）。如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），只要$x$适合不等式$0\lt |x-x_0|\lt \delta$（或$|x|\gt X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式

$$|f(x)|\gt M，$$

那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大。

2、定理

在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；反之，如果$f(x)$为无穷小，且$f(x)\not= 0$，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷大。