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定理1： 两个无穷小的和是无穷小。

用数学归纳法可证： 有限个无穷小之和也是无穷小。

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。

定理3：

如果$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么

（1）$\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A\pm B$；

（2）$\lim [f(x) \cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot B$;

（3）若又有$B\not= 0$，则

$$\displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$$

推论1：如果$\lim f(x)$存在，而$c$为常数，那么

$$\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$$

推论2：如果$\lim f(x)$存在，而$n$是正整数，那么

$$\lim [f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$$

定理4：

设有数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$，如果

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n=A,\quad \lim_{n\to \infty} y_n=B$$

那么：

（1）$\displaystyle \lim_{n\to infty} (x_n\pm y_n)=A\pm B$;

（2）$\displaystyle \lim_{n\to infty} (x_n \cdot y_n)=A\cdot B$;

（3）当$y_n\not= 0（n=1,2,\cdots ）$且$B\not= 0$时,$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$

定理5：

如果$\varphi (x) \ge \psi (x)$，而$\lim \varphi (x)=A,\lim \psi (x)=B$，那和$A\ge B$

定理6：复合函数的极限运算法则

设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，$f[g(x)]$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，若$\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=u_0$，$\displaystyle \lim_{u\to u_0} f(x)=A$，且存在$\delta_0 \gt 0$，当$x\in \displaystyle \mathring{U} (x_0,\delta_0) $时，有$g(x)\not= u_0$，则

$$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f[g(x)]=\lim_{u\to u_0} f(u)=A$$