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一、函数的连续性

1、定义

设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果

$$\displaystyle \lim_{\triangle x\to 0} {\triangle y}=\lim_{\triangle x\to 0} [f(x_0+\triangle x)-f(x_0)]=0$$

那么就称函数$y=f(x)在点$x_0$连续。

二、函数的间断点

设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数$f(x)$有下列三种情形之一：

（1）在$x=x_0$没有定义

（2）虽在$x=x_0$有定义，但$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)$不存在

（3）虽在$x=x_0$有定义，且$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)$存在，但$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)\not=f(x_0)$

那么函数$f(x)$在点$x_0$为不连续，而点$x_0$称为函数$f(x)$的不连续点或间断点。