高等数学->函数与极限->连续函数的运算与初等函数的连续性
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数学
正文
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
1、定理
设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$连续，则它们的和（差）$f\pm g$、积$f\cdot g$及商$\frac{f}{g}$（当$g(x_0)\not=0$时）都在点$x_0$连续。
二、反函数与复合函数的连续性
1、定理
如果函数$y=f(x)$在区间$I_x$上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数$x=f^{-1}(y)$也在对应的区间$I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x \}$上单调增加（或单调减少）且连续。
2、定理
设函数$y=f[g(x)]$由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，$\mathring{U}(x_0)\subset D_{f\cdot g}$，若$\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=u_0$，而函数$y=f(u)$在$u=u_0$连续，则
$$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$$
3、定理
设函数$y=f[g(x)]$由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，$U(x_0)\subset D_{f\cdot g}$，若函数$u=g(x)$在$x=x_0$连续，且$g(x_0)=u_0$，而函数$y=f(u)在u=u_0$连续，则复合函数$y=f[g(x)]$在$x=x_0$也连续。
三、初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
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