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一、定义

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$，那么就说$\beta$是比$\alpha$高阶无穷小，记作$\beta=o(\alpha)$;

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty$，那么就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小；

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha}=c\not= 0$，那么就说$\beta$是比$\alpha$同阶的无穷小；

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c\not= 0,k\gt 0$，那么就说$\beta$是比$\alpha 的k$阶的无穷小；

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$，那么就说$\beta$是比$\alpha$等阶的无穷小，记作$\alpha \sim \beta$

二、定理一

$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的充分必要条件为

$$\beta=\alpha+o(\alpha )$$

三、定理二

设$\alpha \sim \widetilde{\alpha},\beta \sim \widetilde{\beta}$，且$\displaystyle \lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}$存在，则

$$\displaystyle \lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}$$