阅读数:93 评论数:0

一、函数的和、差、积、商的求导法则

1、定理

如果函数$u=u(x)$及$v=v(x)$都在点$x$具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点$x$具有导数，且

（1）$[u(x)\pm v(x)]^{'}=u^{'}(x)\pm v^{'}(x)$;

（2）$[u(x)v(x)]^{'}=u^{'}(x)v(x)+u(x)v^{'}(x)$;

（3）$\displaystyle \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]^{'}=\frac{u^{'}(x)v(x)-u(x)v^{'}(x)}{v^2(x)}(v(x)\not= 0)$

二、反函数的求导法则

1、定理

如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f^{y}\not= 0$，那么它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\}$内也可导，且

$\displaystyle [f^{-1}(x)]=\frac{1}{f^{'}(y)}$或$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\cfrac{1}{\cfrac{dx}{dy}}$

三、复合函数的求导法则

1、定理

如果$u=g(x)$在点$x$可导，而$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为

$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f^{'}(u)\cdot g^{'}(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

四、基本求导法则与导数公式

基本初等函数的导数公式在初等函数的求导运算中起着重要的作用，为了便于查阅，归纳如下：

1、常数和基本初等函数的导数公式

$(C)^{'}=0,\quad (x^{\mu})^{'}=\mu x^{\mu-1}$

$(\sin x)^{'}=\cos x,\quad (\cos x)^{'}=-\sin x$

$(\tan x)^{'}=\sec^2 x,\quad (\cot x)^{'}=-\csc^2 x$

$(\sec x)^{'}=\sec x \tan x,\quad (\csc x)^{'}=-\csc x\cot x$

$(a^x)^{'}=a^x\ln a\quad (a\gt 0,a\not=1)\quad (e^x)^{'}=e^x$

$(\log_a x)^{'}=\cfrac{1}{x\ln a}\quad (a\gt 0,a\not=1),\quad (\ln x)^{'}=\cfrac{1}{x}$

$(\arcsin x)^{'}=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)^{'}=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)^{'}=\cfrac{1}{1+x^2},\quad (arccot x)^{'}=-\cfrac{1}{1+x^2}$