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对于一些复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值，因此我们经常用多项式来近似表达函数。

Taylor中值定理1

如果函数$f(x)$在$x_0$处具有n阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对于该邻域内的任一$x$，有

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$$

下面的理用来估算用n次Taylor多项式来近似表达$f(x)$的误差。

Taylor中值定理2

如果函数$f(x)$在$x_0$的某一邻域$U(x_0)$内具有$(n+1)$阶导数，那么对任一$x\in U(x_0)$，有

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$$R_n(x)=\cfrac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

这里$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值。

泰勒公式的特殊形式 —— 麦克劳林公式

当 $x_0=0$ 时，泰勒公式称为麦克劳林公式：

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$

1、 一些常见函数的泰勒（麦克劳林）展开式

（1）**指数函数** $e^x$：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x)$

（2） **正弦函数** $\sin(x)$：

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_n(x)$

（3）**余弦函数** $\cos(x)$：

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + R_n(x)$

（4）**自然对数** $\ln(1+x)$：

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + R_n(x)$