阅读数:78 评论数:0

一、格林公式

1、格式公式

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在D上具有一阶连续偏导数，则有

$$\iint\limits_{D}\left(\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy=\oint_L Pdx+Qdy$$

其中L是D的取正向的边界曲线。

我们规定L的正向：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边。

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

1、什么叫曲线积分$\int_L Pdx+Qdy$与路径无关

设G是一个区域，$P(x,y)$以及$Q(x,y)$在区域G内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从A到点B的任意两条曲线$L_1,L_2$，等式

$$\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy$$

恒成立，就说曲线积分$\int_{L}Pdx+Qdy$在G内与路径无关。

2、定理

设区域G是一个单连通域，若函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分$\int_L Pdx+Qdy$在G内与路径无关的充公必要条件是

$$\cfrac{\partial P}{\partial y}=\cfrac{\partial Q}{\partial x}$$

在G内恒成立。

三、二元函数的全微分求积

1、定理

设区域G是一个单连通域，当函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在G内具有一阶连续偏导数，则$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$在G内为某一函数$u(x,y)$的全微分的充分必要条件是

$$\cfrac{\partial P}{\partial y}=\cfrac{\partial Q}{\partial x}$$

在G内恒成立。

2、推论

设区域G是一个单连通域，当函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分$\int_L Pdx+Qdy$在G内与路径无关的充分必要条件是： 在G内存在函数$u(x,y)$，使$du=Pdx+Qdy$

3、全微分方程

一个微分方程写成

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

的形式后，如果它的左边恰好是一个函数$u(x,y)$的全微分：

$$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

则微分方程称为全微分方程。

四、曲线积分的基本定理

定理

设$F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j$是平面区域G内的一个向量场，若$P(x,y)$与$Q(x,y)$都在G内连续，且存在一个数量函数$f(x,y)$，使得$F=\nabla f$，则曲线积分$\int_L F\cdot dr$在G内与路径无关，且

$$\int_L F\cdot dr=f(B)-f(A)$$

其中L是位于G内超点为A、终点为B的任一分段光滑曲线。