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一、正项级数及其审敛法

1、正项级数

如果各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数。

2、定理1

正项级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的充分必要条件是：它的部分和数列$\{s_n\}$有界。

3、定理2（比较审敛法）

设$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$和$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}v_n$都是正项级数，且$u_n\le u_n\quad (n=1,2,\cdots)$。若级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，则级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$收敛；反之，若级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$发散，则级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}v_n$发散。

4、定理3（比较审敛法的极限形式）

设$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$和$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}v_n$都是正项级数，

（1）如果$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\cfrac{u_n}{v_n}=l\ (0\le l\lt +\infty)$，且级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，那么级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$收敛；

（2）如果$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\cfrac{u_n}{v_n}=l\gt 0$，如果$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\cfrac{u_n}{v_n}=+ \infty $，且级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}v_n$发散，那么级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$发散。

5、定理4（达朗贝尔差别法）

设$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$为正项级数，如果

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\cfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$$

那么当$\rho\lt 1$时级数收敛，当$\rho\gt 1$时级数发散，$\rho =1$时级数可能收敛也可能发散。

6、定理5（柯西差别法）

设$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$为正项级数，如果

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=rho$$

那么当$\rho\lt 1$时级数收敛，当$\rho\gt 1$时级数发散，$\rho =1$时级数可能收敛也可能发散。

7、定理6（极限审敛法）

设$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$为正项级数，

（1）如果$\displaystyle \lim_{n\to \infty}nu_n=l\gt 0$，那么级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$发散。

（2）如果$p\gt 1$，而$\displaystyle \lim_{n\to \infty}n^pu_n\ (0\le l\le +\infty)$，那么级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}u_n$收敛。

二、交错级数及其审敛法

1、交错级数

级数的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：

$$u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots$$

或

$$-u_1+u_2-u_3+u_4+\cdots$$

其中$u_1,u_2,\cdots$都是正数。

2、定理（莱布尼茨定理）

如果交错级数$\displaystyle \lim_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$满足条件：

（1）$u_n\ge u_{n+1}\ (n=1,2,3,\cdots)$

（2）$\displaystyle \lim_{n\to \infty}=0$

那么级数收敛，且其各$s\le u_1$，其余数$r_n$的绝对值$|r_n|\le u_{n+1}$

三、绝对收敛与条件收敛

如果级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$和项的绝对值所构成的正项级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$收敛，那么称级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛； 如果级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，而级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散，那么级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛。

1、定理

如果级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$绝对收敛，则级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n$必定收敛。