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一、函数项级数的概念

如果给定一个定义在区间I上的函数列

$$u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdots,u_n(x),\cdots$$

那么由这个函数列构成的表达式

$$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$$

称为定义在区间I的（函数项）无穷级数。

二、幂级数及其收敛性

1、定义

$$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$

2、定理（Abel定理）

如果级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$当$x=x_0\ (x_0\not=0)$时收敛，那么适合不等式$|x|\lt|x_0|$的一切$x$使幂级数绝对收敛。反之，如果级数数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$当$x=x_0\ (x_0\not=0)$时发散，那么适合不等式$|x|\gt|x_0|$的一切$x$使这幂级数发散。

3、定理

如果

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left| \cfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho$$

那么这幂级数的收敛半径

$$R=\left\{ \begin{aligned} &\cfrac{1}{\rho},\quad \rho\not=0,\\&+\infty,\quad \rho=0\\& 0,\quad \rho=+\infty  \end{aligned} \right.$$

三、幂级数的运算

1、性质1

幂级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域I上连续。

2、性质2

幂级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

$$\displaystyle \int_{0}^{x}s(t)dt=\int_{0}^{x}[\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n]dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_nt^ndt\\ = \sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}\ (x\in I)$$

逐项积分后所得到的幂级数原级数有相同的收敛半径。

3、性质3

幂级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛区间$(-R,R)$内可导，且有逐项求导公式

$$\displaystyle s^{'}(x)=(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)^{'}=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)^{'}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\ (|x|\lt R)$$

逐项求导后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径。