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一、三角级数、三角函数系的正交性

1、三角级数

$$\displaystyle \cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\cfrac{n\pi t}{l}+b_n\sin\cfrac{n\pi t}{l})$$

2、三角函数系的正交性

所谓三角函数系在区间$[-\pi,\pi]$上正交，就是指三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间$[-\pi,\pi]$上的积分等于零。

二、函数展开成傅里叶级数

1、定义

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且能展开成三角级数

$$\displaystyle \cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

上式称为函数$f(x)$的傅里叶级数。

2、定理（收敛定理，Dirichlet充分条件）

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果它满足：

（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。（有左、右极限）

（2）在一个周期内至多只有有限个极值点。

那么$f(x)$的傅里叶级数收敛，并且

当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于$f(x)$

当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\cfrac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$

三、一般周期函数的傅里叶级数

定理

设周期为$2l$的周期函数$f(x)$满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

$$\displaystyle f(x)=\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\cfrac{n\pi x}{l}+b_n\sin\cfrac{n\pi x}{l} \right)\ (x\in C)$$

其中

$$a_n=\cfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\cfrac{n\pi x}{l}dx \quad (n=0,1,2,\cdots)$$

$$b_n=\cfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\cfrac{n\pi x}{l}dx \quad (n=0,1,2,\cdots)$$

$$C=\left\{ x\Bigg| f(x)=\cfrac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})] \right\}$$

当$f(x)$为奇函数时，

$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\cfrac{n\pi x}{l}\ (x\in C)$$

其中

$$b_n=\cfrac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\cfrac{n\pi x}{l}dx \quad (n=0,1,2,\cdots)$$

当$f(x)$为偶函数时，

$$\displaystyle f(x)=\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\cfrac{n\pi x}{l}\ (x\in C)$$

其中

$$a_n=\cfrac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\cfrac{n\pi x}{l}dx \quad (n=0,1,2,\cdots)$$